The first aim of this article is to give information about the algebraic properties of alternate bases $\boldsymbol{\beta}=(\beta_0,\dots,\beta_{p-1})$ determining sofic systems. We show that a necessary condition is that the product $\delta=\prod_{i=0}^{p-1}\beta_i$ is an algebraic integer and all of the bases $\beta_0,\ldots,\beta_{p-1}$ belong to the algebraic field ${\mathbb Q}(\delta)$. On the other hand, we also give a sufficient condition: if $\delta$ is a Pisot number and $\beta_0,\ldots,\beta_{p-1}\in {\mathbb Q}(\delta)$, then the system associated with the alternate base $\boldsymbol{\beta}=(\beta_0,\dots,\beta_{p-1})$ is sofic. The second aim of this paper is to provide an analogy of Frougny's result concerning normalization of real bases representations. We show that given an alternate base $\boldsymbol{\beta}=(\beta_0,\dots,\beta_{p-1})$ such that $\delta$ is a Pisot number and $\beta_0,\ldots,\beta_{p-1}\in {\mathbb Q}(\delta)$, the normalization function is computable by a finite B\"uchi automaton, and furthermore, we effectively construct such an automaton. An important tool in our study is the spectrum of numeration systems associated with alternate bases. The spectrum of a real number $\delta>1$ and an alphabet $A\subset {\mathbb Z}$ was introduced by Erd\H{o}s et al. For our purposes, we use a generalized concept with $\delta\in{\mathbb C}$ and $A\subset{\mathbb C}$ and study its topological properties.


翻译:此文章的第一个目的, 是提供替代基的升位属性信息 $\ beta_ 0,\ ldot,\ beta\ p-1} $( boldSymble$_ beta_ beta} $) (\ beta_ 0,\\ p\\ \\ beta_ i) 。 我们显示一个必要的条件, 產品 $( delta\ p\ i) = 0\ p-1 美元= a elgebracy mase_ beta> (\ beta_ beta} $ (\\ delta) $ (\ deltab) 美元) 。 在另一手, 我们还给出一个条件: 如果 $\ delta 和 $\ beta_ beta_ 0. 0, (\\\\ lab) 研究 $ (\\\\\\ lab) lax a lax max lax a fromodeal.

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