In contrast to their seemingly simple and shared structure of independence and stationarity, L\'evy processes exhibit a wide variety of behaviors, from the self-similar Wiener process to piecewise-constant compound Poisson processes. Inspired by the recent paper of Ghourchian, Amini, and Gohari (2018), we characterize their compressibility by studying the entropy of their double discretization (both in time and amplitude) in the regime of vanishing discretization steps. For a L\'evy process with absolutely continuous marginals, this reduces to understanding the asymptotics of the differential entropy of its marginals at small times, for which we obtain a new local central limit theorem. We generalize known results for stable processes to the non-stable case, with a special focus on L\'evy processes that are locally self-similar, and conceptualize a new compressibility hierarchy of L\'evy processes, captured by their Blumenthal-Getoor index.


翻译:L\'evy过程与其看似简单和共享的独立和稳定结构形成对照,它展示了各种各样的行为,从自我相似的维纳过程到支离破碎的复合波森过程。在Ghourchian、Amini和Gohari(2018年)最近发表的论文的启发下,我们通过在消失的离散步骤制度中研究其双分化(时间和振幅)的酶来描述其压缩。对于具有绝对连续边缘的L\'evy过程,这降低了对边缘不同酶在小时候的混杂作用的理解,我们为此获得了新的本地中心限制理论。我们把已知的稳定过程结果推广到非稳定的案例,特别侧重于当地自相近的L\'evy过程,并构想了L\'evy过程的新的可压缩等级,由它们的Blumenthal-Getoor指数所捕捉取。

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