For a map (function) $F(x):\ftwo^n\rightarrow\ftwo^n$ and a given $y$ in the image of $F$ the problem of \emph{local inversion} of $F$ is to find all inverse images $x$ in $\ftwo^n$ such that $y=F(x)$. In Cryptology, such a problem arises in Cryptanalysis of One way Functions (OWFs). The well known TMTO attack in Cryptanalysis is a probabilistic algorithm for computing one solution of local inversion using $O(\sqrt N)$ order computation in offline as well as online for $N=2^n$. This paper proposes a complete algorithm for solving the local inversion problem which uses linear complexity for a unique solution in a periodic orbit. The algorithm is shown to require an offline computation to solve a hard problem (possibly requiring exponential computation) and an online computation dependent on $y$ that of repeated forward evaluation $F(x)$ on points $x$ in $\ff_{2^n}$ which is polynomial time at each evaluation. However the forward evaluation is repeated at most as many number of times as the Linear Complexity of the sequence $\{y,F(y),\ldots\}$ to get one possible solution when this sequence is periodic. All other solutions are obtained in chains $\{e,F(e),\ldots\}$ for all points $e$ in the Garden of Eden (GOE) of the map $F$. Hence a solution $x$ exists iff either the former sequence is periodic or a solution occurs in a chain starting from a point in GOE. The online computation then turns out to be polynomial time $O(L^k)$ in the linear complexity $L$ of the sequence to compute one possible solution in a periodic orbit or $O(l)$ the chain length for a fixed $n$. Hence this is a complete algorithm for solving the problem of finding all rational solutions $x$ of the equation $F(x)=y$ for a given $y$ and a map $F$ in $\ff_{2^n}$.
翻译:对于地图( 函数) $F( x) :\ f2\ nrightar\ f2\ f2 美元 和以美元表示的美元表示的美元, 以美元表示的 美元表示的 of2\ 美元表示的 $F$; 对于地图( 函数) $F(x): 美元:\ f2\ nrightar\ f2x美元; 美元表示的美元和美元表示的美元, 以美元表示的 美元表示的 TMTO 攻击。 在加密分析中, 众所周知的 TMTO 攻击是用美元表示的 美元表示的 美元表示的 美元 。 在离线和 美元表示的美元表示 美元表示的 美元 。 美元表示的是, 美元表示 美元 美元 美元 美元表示的 美元 美元 。 美元表示 美元 美元 的 美元 。 美元 美元 美元, 美元 美元 美元 美元 的 美元 。 美元, 以 美元 美元 的 美元 美元 美元 。 美元 。 美元 以 美元 以 美元 美元 美元 的 美元 美元 的 美元 。 的 的 美元 以 美元 美元 美元 的 的, 的 以 美元 的 美元 美元 美元 以 的 美元 的 的 美元 的 美元 美元 的, 的 美元 美元 的 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。, 以 美元 以 以 以 以 以 的 的 的 的 以 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 。 。 。 定期 。 。 。 。 。 。 。 以 的 的 的 以 的 的 的 以 的 的 的 的 的 的 的 的 以 以 以 以 以 的 以 以 以 以 的 的 的 美元 的 的 的