Behavioural distances measure the deviation between states in quantitative systems, such as probabilistic or weighted systems. There is growing interest in generic approaches to behavioural distances. In particular, coalgebraic methods capture variations in the system type (nondeterministic, probabilistic, game-based etc.), and the notion of quantale abstracts over the actual values distances take, thus covering, e.g., two-valued equivalences, (pseudo-)metrics, and probabilistic (pseudo-)metrics. Coalgebraic behavioural distances have been based either on liftings of SET-functors to categories of metric spaces, or on lax extensions of SET-functors to categories of quantitative relations. Every lax extension induces a functor lifting but not every lifting comes from a lax extension. It was shown recently that every lax extension is Kantorovich, i.e. induced by a suitable choice of monotone predicate liftings, implying via a quantitative coalgebraic Hennessy-Milner theorem that behavioural distances induced by lax extensions can be characterized by quantitative modal logics. Here, we essentially show the same in the more general setting of behavioural distances induced by functor liftings. In particular, we show that every functor lifting, and indeed every functor on (quantale-valued) metric spaces, that preserves isometries is Kantorovich, so that the induced behavioural distance (on systems of suitably restricted branching degree) can be characterized by a quantitative modal logic.


翻译:行为距离度量量化系统中状态之间的偏离,例如概率或加权系统。目前越来越多地关注通用的行为距离方法。特别地,余代数方法捕捉系统类型(非确定性、概率性、基于游戏等)的变化,量子代数的概念抽象了距离的实际取值,从而涵盖了例如二值等价、(假)度量以及概率(假)度量。余代数的行为距离已经基于将SET函子提升到度量空间的类中,或者基于将SET函子松弛地拓展到定量关系的类中。每一个松弛拓展都会引起函子提升,但并非每一次提升都来自松弛拓展。最近证明了,每一个松弛拓展都是Kantorovich的,即通过适当的单调谓词提升引起的,这意味着经由量化的余代数 Hennessy-Milner定理的行为距离可以由量化模态逻辑表征。在这里,我们基本上在更一般的函子提升的行为距离设置中显示的同上。特别地,我们表明每一个函子提升,实际上每一个保持等距的度量空间函子都是Kantorovich的,从而在分支度适当限制的系统上诱导出行为距离,可以用量化模态逻辑来表征。

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