In this paper, we prove a strong XOR lemma for bounded-round two-player randomized communication. For a function $f:\mathcal{X}\times \mathcal{Y}\rightarrow\{0,1\}$, the $n$-fold XOR function $f^{\oplus n}:\mathcal{X}^n\times \mathcal{Y}^n\rightarrow\{0,1\}$ maps $n$ input pairs $(X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n)$ to the XOR of the $n$ output bits $f(X_1,Y_1)\oplus \cdots \oplus f(X_n, Y_n)$. We prove that if every $r$-round communication protocols that computes $f$ with probability $2/3$ uses at least $C$ bits of communication, then any $r$-round protocol that computes $f^{\oplus n}$ with probability $1/2+\exp(-O(n))$ must use $n\cdot \left(r^{-O(r)}\cdot C-1\right)$ bits. When $r$ is a constant and $C$ is sufficiently large, this is $\Omega(n\cdot C)$ bits. It matches the communication cost and the success probability of the trivial protocol that computes the $n$ bits $f(X_i,Y_i)$ independently and outputs their XOR, up to a constant factor in $n$. A similar XOR lemma has been proved for $f$ whose communication lower bound can be obtained via bounding the discrepancy [Shaltiel'03]. By the equivalence between the discrepancy and the correlation with $2$-bit communication protocols [Viola-Wigderson'08], our new XOR lemma implies the previous result.
翻译:在本文中, 我们为两个玩家捆绑在一起的通信提供了强大的 XOR lemma 。 对于一个函数 $f :\ mathcal{X}X_time\ mathcal{Y\\rightr}0, 1 $美元, 美元乘以XOR $, 美元值XOR =m 美元, 美元值xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx美元美元美元美元美元美元美元美元美元美元 美元美元 美元 美元美元美元美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元) 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元