Shape calculus concerns the calculation of directional derivatives of some quantity of interest, typically expressed as an integral. This article introduces a type of shape calculus based on localized dilation of boundary faces through perturbations of a level-set function. The calculus is tailored for shape optimization problems where a partial differential equation is numerically solved using a fictitious-domain method. That is, the boundary of a domain is allowed to cut arbitrarily through a computational mesh, which is held fixed throughout the computations. Directional derivatives of a volume or surface integral using the new shape calculus yields purely boundary-supported expressions, and the involved integrands are only required to be element-wise smooth. However, due to this low regularity, only one-sided differentiability can be guaranteed in general. The dilation concept introduced here differs from the standard approach to shape calculus, which is based on domain transformations. The use of domain transformations is closely linked the the use of traditional body-fitted discretization approaches, where the computational mesh is deformed to conform to the changing domain shape. The directional derivatives coming out of a shape calculus using deforming meshes under domain transformations are different then the ones from the boundary-dilation approach using fixed meshes; the former are not purely boundary supported but contain information also from the interior.
翻译:形状计算涉及计算一定数量利益的方向衍生物, 通常以一个整体表示。 本条引入了一种基于边框面通过水平设置函数的扰动来本地化扩展的形状微积分。 微积分是针对形状优化问题的, 部分差异方程式使用虚构的域法通过数字解决。 也就是说, 一个域的边界允许通过计算网格任意切割, 计算过程中一直保持的计算网格。 使用新形状微积分的体积或表面构件的定向衍生物产生纯边界支持的表达式, 所涉的细微分只需要元素顺畅。 但是, 由于这种低的规律性, 只能保证偏差的形状优化问题。 此处引入的微微分概念不同于基于域变换的形状标准方法。 域变换的用域法与传统的体形的离散化方法密切相连, 其计算网格的公式不易变形, 但不会与正在变形的域形相一致, 并且使用正向的内部变形法 。 正在使用前边界变形 的外形 方向 。 向 向 向 将 向 向 向 向 向 向 向 向 将 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 将 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向 向