通用采样离散 (Universal sampling discretization)

Let $X_N$ be an $N$-dimensional subspace of $L_2$ functions on a probability space $(\Omega, \mu)$ spanned by a uniformly bounded Riesz basis $\Phi_N$. Given an integer $1\leq v\leq N$ and an exponent $1\leq q\leq 2$, we obtain universal discretization for integral norms $L_q(\Omega,\mu)$ of functions from the collection of all subspaces of $X_N$ spanned by $v$ elements of $\Phi_N$ with the number $m$ of required points satisfying $m\ll v(\log N)^2(\log v)^2$. This last bound on $m$ is much better than previously known bounds which are quadratic in $v$. Our proof uses a conditional theorem on universal sampling discretization, and an inequality of entropy numbers in terms of greedy approximation with respect to dictionaries.

翻译：$X_N$应该是以统一约束的Riesz 基数为单位的以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的二维子空间, 以美元为单位。鉴于整数 1\leq v\leq N$ 和1\leq q\leq 2美元为单位的Expententent $@leq q\leq 2美元, 我们从收集所有以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的单位的以美元为单位的单位的以美元为单位的子空间获得全方位的功能离散化。鉴于一个整数为1\leq v\leq 2美元的整数是1\leq q q\leq $, 我们从收集的所有以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的以美元为单位的单位的以美元为单位的单位的单位, 以美元为单位以美元为单位以美元为单位的单位,以美元为单位以美元为单位,以美元为单位以美元为单位以美元为单位计算,以美元为单位以美元为单位计算,以美元为单位以美元为单位,以美元为单位以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位的单位的单位以美元为单位以美元为单位,以美元为单位的单位的单位的单位计算以美元为单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位,以美元为单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位的单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位的单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位的单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位为单位计算