We consider the classical Minimum Crossing Number problem: given an $n$-vertex graph $G$, compute a drawing of $G$ in the plane, while minimizing the number of crossings between the images of its edges. This is a fundamental and extensively studied problem, whose approximability status is widely open. In all currently known approximation algorithms, the approximation factor depends polynomially on $\Delta$ -- the maximum vertex degree in $G$. The best current approximation algorithm achieves an $O(n^{1/2-\varepsilon}\cdot \text{poly}(\Delta\cdot\log n))$-approximation, for a small fixed constant $\epsilon$, while the best negative result is APX-hardness, leaving a large gap in our understanding of this basic problem. In this paper we design a randomized $O\left(2^{O((\log n)^{7/8}\log\log n)}\cdot\text{poly}(\Delta)\right )$-approximation algorithm for Minimum Crossing Number. This is the first approximation algorithm for the problem that achieves a subpolynomial in $n$ approximation factor (albeit only in graphs whose maximum vertex degree is subpolynomial in $n$). In order to achieve this approximation factor, we design a new algorithm for a closely related problem called Crossing Number with Rotation System, in which, for every vertex $v\in V(G)$, the circular ordering, in which the images of the edges incident to $v$ must enter the image of $v$ in the drawing is fixed as part of the input. Combining this result with the recent reduction of [Chuzhoy, Mahabadi, Tan '20] immediately yields the improved approximation algorithm for Minimum Crossing Number. We introduce several new technical tools, that we hope will be helpful in obtaining better algorithms for the problem in the future.


翻译:我们考虑古典最低跨度数字问题:考虑到一个$n 的顶端图形$G$,在平面上计算一张$G$的图画,同时尽量减少其边缘图像之间的交叉次数。这是一个经过广泛研究的根本性问题,其接近性状态是广泛开放的。在所有目前已知的近似算法中,近似系数多寡取决于$\Delta$ -- -- 最高顶顶点为$G$。在本文中,目前最佳近似算法将达到一个$(n ⁇ 1/2-\vareplacelón ⁇ cdot\ text$}(Delta\cdolog n}(Delta\ct\log n)$ 。对于一个小固定的固定不变的 $(eeplimexlity), 最接近的离差因子值(xxxxxxxx) 将自动设计一个 lexleft($%%%O ((() = lix nv=8/8) log nqot) listal{poly{t}t$(Dral) listal dalendation) numalational dal dal) 问题,这个在最近点上, irstal irstal irstal irmaxxxxxxxxxxxxxx 问题必须必须必须必须必须将立即将立即在新的一个新的排序。

0
下载
关闭预览

相关内容

专知会员服务
123+阅读 · 2020年9月8日
Linux导论,Introduction to Linux,96页ppt
专知会员服务
77+阅读 · 2020年7月26日
因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
【哈佛大学商学院课程Fall 2019】机器学习可解释性
专知会员服务
103+阅读 · 2019年10月9日
征稿 | CFP:Special Issue of NLP and KG(JCR Q2,IF2.67)
开放知识图谱
1+阅读 · 2022年4月4日
VCIP 2022 Call for Special Session Proposals
CCF多媒体专委会
1+阅读 · 2022年4月1日
IEEE ICKG 2022: Call for Papers
机器学习与推荐算法
3+阅读 · 2022年3月30日
ACM MM 2022 Call for Papers
CCF多媒体专委会
5+阅读 · 2022年3月29日
AIART 2022 Call for Papers
CCF多媒体专委会
1+阅读 · 2022年2月13日
【ICIG2021】Check out the hot new trailer of ICIG2021 Symposium6
中国图象图形学学会CSIG
2+阅读 · 2021年11月12日
强化学习三篇论文 避免遗忘等
CreateAMind
19+阅读 · 2019年5月24日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
无监督元学习表示学习
CreateAMind
27+阅读 · 2019年1月4日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2016年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2011年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2011年12月31日
Arxiv
0+阅读 · 2022年4月17日
VIP会员
相关VIP内容
专知会员服务
123+阅读 · 2020年9月8日
Linux导论,Introduction to Linux,96页ppt
专知会员服务
77+阅读 · 2020年7月26日
因果图,Causal Graphs,52页ppt
专知会员服务
246+阅读 · 2020年4月19日
强化学习最新教程,17页pdf
专知会员服务
174+阅读 · 2019年10月11日
【哈佛大学商学院课程Fall 2019】机器学习可解释性
专知会员服务
103+阅读 · 2019年10月9日
相关资讯
征稿 | CFP:Special Issue of NLP and KG(JCR Q2,IF2.67)
开放知识图谱
1+阅读 · 2022年4月4日
VCIP 2022 Call for Special Session Proposals
CCF多媒体专委会
1+阅读 · 2022年4月1日
IEEE ICKG 2022: Call for Papers
机器学习与推荐算法
3+阅读 · 2022年3月30日
ACM MM 2022 Call for Papers
CCF多媒体专委会
5+阅读 · 2022年3月29日
AIART 2022 Call for Papers
CCF多媒体专委会
1+阅读 · 2022年2月13日
【ICIG2021】Check out the hot new trailer of ICIG2021 Symposium6
中国图象图形学学会CSIG
2+阅读 · 2021年11月12日
强化学习三篇论文 避免遗忘等
CreateAMind
19+阅读 · 2019年5月24日
Hierarchically Structured Meta-learning
CreateAMind
26+阅读 · 2019年5月22日
无监督元学习表示学习
CreateAMind
27+阅读 · 2019年1月4日
相关基金
国家自然科学基金
1+阅读 · 2016年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2013年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2012年12月31日
国家自然科学基金
1+阅读 · 2011年12月31日
国家自然科学基金
0+阅读 · 2011年12月31日
Top
微信扫码咨询专知VIP会员