We introduce the $(p,q)$-Fair Clustering problem. In this problem, we are given a set of points $P$ and a collection of different weight functions $W$. We would like to find a clustering which minimizes the $\ell_q$-norm of the vector over $W$ of the $\ell_p$-norms of the weighted distances of points in $P$ from the centers. This generalizes various clustering problems, including Socially Fair $k$-Median and $k$-Means, and is closely connected to other problems such as Densest $k$-Subgraph and Min $k$-Union. We utilize convex programming techniques to approximate the $(p,q)$-Fair Clustering problem for different values of $p$ and $q$. When $p\geq q$, we get an $O(k^{(p-q)/(2pq)})$, which nearly matches a $k^{\Omega((p-q)/(pq))}$ lower bound based on conjectured hardness of Min $k$-Union and other problems. When $q\geq p$, we get an approximation which is independent of the size of the input for bounded $p,q$, and also matches the recent $O((\log n/(\log\log n))^{1/p})$-approximation for $(p, \infty)$-Fair Clustering by Makarychev and Vakilian (COLT 2021).


翻译:我们引入了$( p, q) 公平分类问题。 在这个问题中, 我们得到了一组点数 $ P 美元 和 美元 美元 。 我们想要找到一个组合, 将矢量在美元( 美元) 以上, 美元( 美元) 美元( p, 美元) 的 美元( 美元) 的 美元( 美元) 的 美元( 美元) 的 公平 美元( 美元) 和 美元( 美元) 的 问题。 我们想要找到一个组合, 将矢量( 美元) 的 美元( 美元) 美元( 美元) 的 美元( 美元/ 美元( 美元) 和 美元( 美元) 美元( 美元) 的 美元( 美元/ 美元) 的 美元( 美元/ 美元/ 美元/ 美元- 美元- 美元 美元) 。 我们使用 等量( p- 美元( 美元) 美元( 美元) 彩( 美元) 美元( 美元( 美元) 美元) 美元( 美元( 美元) 美元) 和( 美元) 美元( 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( 美元) ) 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( 美元) ( ) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( ) ( ) ( ) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 美元) ( ) ( 美元) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 美元) ( ) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) ( ) ( ) ( ) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (美元) (

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