In this paper we propose polarized consensus-based dynamics in order to make consensus-based optimization (CBO) and sampling (CBS) applicable for objective functions with several global minima or distributions with many modes, respectively. For this, we "polarize" the dynamics with a localizing kernel and the resulting model can be viewed as a bounded confidence model for opinion formation in the presence of common objective. Instead of being attracted to a common weighted mean as in the original consensus-based methods, which prevents the detection of more than one minimum or mode, in our method every particle is attracted to a weighted mean which gives more weight to nearby particles. The resulting dynamics possess mean-field interpretations with Fokker--Planck equations that are structurally similar to the ones of original CBO and CBS, and we prove that the polarized CBS dynamics is unbiased in case of a Gaussian target. We also propose a computationally more efficient generalization which works with a predefined number of clusters and improves upon our polarized baseline method for high-dimensional optimization.


翻译:在本文中,我们提出了基于共识的两极化动态,以便分别适用于若干全球微型或多种模式分布的基于共识的优化(CBO)和取样(CBS),分别适用于若干全球微型或分布的客观功能。为此,我们用一个本地化的内核和由此形成的模型来“极化”动态,可以被看作是在共同目标存在的情况下形成舆论的封闭信任模式。我们不象最初基于共识的方法那样被吸引到一个共同加权平均值,从而无法发现一个以上的最低限度或模式,在我们的方法中,每个粒子都被吸引到一个加权平均值,使附近粒子的重量更大。由此形成的动态具有与原CBO和CBS在结构上相似的Fokker-Planck方程式的中平均场解释,我们证明极化的CBS动态在高斯目标情况下是不带偏见的。我们还提议一种效率更高的概括,即与预先界定的集群数目相配合,并改进我们关于高维优化的极化基线方法。

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