In this paper we study the fixed-parameter tractability of the problem of deciding whether a given temporal graph admits a temporal walk that visits all vertices (temporal exploration) or, in some problem variants, a certain subset of the vertices. Formally, a temporal graph is a sequence <G_1,...,G_L> of graphs with V(G_t) = V(G) and E(G_t) a subset of E(G) for all t in [L] and some underlying graph G, and a temporal walk is a time-respecting sequence of edge-traversals. We consider both the strict variant, in which edges must be traversed in strictly increasing timesteps, and the non-strict variant, in which an arbitrary number of edges can be traversed in each timestep. For both variants, we give FPT algorithms for the problem of finding a temporal walk that visits a given set X of vertices, parameterized by |X|, and for the problem of finding a temporal walk that visits at least k distinct vertices in V(G), parameterized by k. We also show W[2]-hardness for a set version of the temporal exploration problem for both variants. For the non-strict variant, we give an FPT algorithm for the temporal exploration problem parameterized by the lifetime of the input graph, and we show that the temporal exploration problem can be solved in polynomial time if the graph in each timestep has at most two connected components.
翻译:在本文中,我们研究了确定一个特定时间图是否允许一次时间行走以访问所有脊椎(时间探索)或(在某些问题变体中)某一子脊椎。 形式上, 时间图形是V( G_ t) = V( G) = V( G) = V( G) 和 E( G_ t) 的图表的序列, 是 E( G) 子( G) 的子数, 是所有( G) 在 [L] 和某些基本图表 G 中, 时间行走是尊重时间的边际- 三角体序列。 我们既考虑严格的变式, 边缘必须在严格增加时间步骤中穿行, 也考虑非限制变式, 任意的边数可以在每一个时间步骤中穿行。 对于这两个变式, 我们给FPT算算法找到一个时间行走时间行走的子( E), 以 Q( {X} ) 为参数, 和 找到时间行走时间行走的顺序, 在最小的时程中, 我们用最不同的时间行进的 度 度 度 度 度 度 度 度 的 解算法 显示最不同的 的 度 度 度 的 的 度 度 度 度 的 的 度 度 的 的 度 的 度 度 的 的 。