Running a random walk in a convex body $K\subseteq\mathbb{R}^n$ is a standard approach to sample approximately uniformly from the body. The requirement is that from a suitable initial distribution, the distribution of the walk comes close to the uniform distribution $\pi_K$ on $K$ after a number of steps polynomial in $n$ and the aspect ratio $R/r$ (i.e., when $rB_2 \subseteq K \subseteq RB_{2}$). Proofs of rapid mixing of such walks often require the probability density $\eta_0$ of the initial distribution with respect to $\pi_K$ to be at most $\mathrm{poly}(n)$: this is called a "warm start". Achieving a warm start often requires non-trivial pre-processing before starting the random walk. This motivates proving rapid mixing from a "cold start", wherein $\eta_0$ can be as high as $\exp(\mathrm{poly}(n))$. Unlike warm starts, a cold start is usually trivial to achieve. However, a random walk need not mix rapidly from a cold start: an example being the well-known "ball walk". On the other hand, Lov\'asz and Vempala proved that the "hit-and-run" random walk mixes rapidly from a cold start. For the related coordinate hit-and-run (CHR) walk, which has been found to be promising in computational experiments, rapid mixing from a warm start was proved only recently but the question of rapid mixing from a cold start remained open. We construct a family of random walks inspired by classical decompositions of subsets of $\mathbb{R}^n$ into countably many axis-aligned dyadic cubes. We show that even with a cold start, the mixing times of these walks are bounded by a polynomial in $n$ and the aspect ratio. Our main technical ingredient is an isoperimetric inequality for $K$ for a metric that magnifies distances between points close to the boundary of $K$. As a corollary, we show that the CHR walk also mixes rapidly both from a cold start and from a point not too close to the boundary of $K$.


翻译:在一个 convex 体中随机行走 $K\ subseteq\ mathb{R ⁇ n 美元 是一个标准的方法, 以快速的方式向身体进行抽样。 要求从一个合适的初始分布中, 漫步的分配接近于美元和美元对K美元的统一分配 $\ pi_ K$ 美元 和 $R/ r$ 的侧边比( 也就是说, 当 $B_ 2\ subsete K\ subseteq K\ com% 2} 美元 。 冷步的快速混合往往需要 美元 美元 的概率 美元 。 快速的运行 美元 美元 美元 。 初始分配 $\ 美元 美元 美元 的 美元 美元 。 初始分配 美元 的 美元 的 美元 。 快速 快速 运行 。 快速 快速 快速 快速 开始 开始 开始, 开始 以 美元 方向 。

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在数学中,随机漫步是一种数学对象,称为随机过程或随机过程,它描述的路径由在某些数学空间(例如整数)上的一系列随机步骤组成。随机行走等是指基于过去的表现,无法预测将来的发展步骤和方向。核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律 ,接近于布朗运动,是布朗运动理想的数学状态,现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中。
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