桥牌中的概率问题

2018 年 2 月 13 日 算法与数学之美

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桥牌是一种极具魅力与技术的牌类游戏，同时具有科学性。概率在桥牌中有着极其广泛和重要的作用，深刻影响着牌手的策略，甚至能够决定成败。其中，最基本也最关键的，就是对手各花色的牌型分布问题。依据概率理论分析，我们能够得到普遍情况下牌型分布的规律，而这些规律也在世界牌手的反复实践中得到了验证。可以说，概率成就了桥牌。而我们同样可以认为，桥牌也是概率在生活中得到发扬和应用的明证。

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关键词：

概率桥牌牌型分布

正文：

在桥牌比赛中，概率扮演着一个极其重要的角色。其中，对除自己和明手外另外两家牌型分布的推算是一个非常有趣的课题。对牌型分布概率有所了解的朋友们很可能会对那些看起来比较复杂的数字感到迷惑不解——例如，1-1分布的概率为什么是52%而2-0分布是48%之类，甚至可能会觉得这个48%是不是四舍五入得来的。其实，这些数字背后的理论说起来挺简单，更值得注意的是在运用这些数字的时候要万分小心。

所有为我们所熟知的牌型分布概率都是建立在一个条件上的：对所关心的那两家手里的牌我们事先没有获得任何信息，也就是说对那26张牌我们一无所知。如果在这个条件不能得到满足的情况下机械地运用表格里那些枯燥的数字，误入歧途的可能性是很大的。

我们从最简单的有价值情况入手。当自己和明手一共持有一套花色的11张的时候，另外2张牌分布的概率是怎么样的呢？

由基本的组合理论所得出的结论非常简单：从2张牌中取出0、1和2张的方式各为1、2和1，分别对应2-0、1-1和2-0分布——也就是说，2-0分布和1-1分布的概率皆为2/4=50%. 很遗憾，这个结论是不正确的，原因在于它是一个独立事件概率理论，并没有考虑到2张牌之间的相关。

正确的分析方法应该如下：两家暗手一共有26张牌，在零信息的条件下它们为这套花色余下的2张牌提供了26个位置。第1张牌（这种表达方式并没有人为带来2张牌“地位”上的区别，证明很简单，就是把连乘式两个因子的分子交换一下位置而已）在某一家的概率是显而易见的：13/26. 这时分析第2张牌——这时一共余下25个位置：

①2-0分布对应的情况是第2张牌也在第1张牌所在的一家，一共有12种可能，其概率为12/25；

②1-1分布对应的情况是第2张牌在另一家，一共有13种可能，其概率为13/25. 可见1-1分布的概率比2-2分布大。

具体的数字计算如下（对非严格等式，单独概率保留三位有效数字，总概率保留到小数点后第三位）：

①2-0分布一共有2种情况（根据独立事件组合理论，下同），各自对应概率13/26 * 12/25 = 0.24, 总概率为 2*0.24=0.48；

②1-1分布一共也有2种情况，各自对应概率13/26* 13/25 = 0.26, 总概率为 2*0.26=0.52.

3张牌的情况如下：

①3-0分布一共有2种情况，各自对应概率13/26* 12/25 * 11/24 = 0.11, 总概率为 2*0.11=0.22；

②2-1分布一共有6种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 = 0.13, 总概率为 6*0.13=0.78.

4张牌的情况如下：

①4-0分布一共有2种情况，各自对应概率13/26* 12/25 * 11/24 * 10/23 = 0.0478, 总概率为 2*0.0478=0.096；

②3-1分布一共有8种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 * 11/23 = 0.0622, 总概率为 8*0.0622=0.497；

③2-2分布一共有6种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 = 0.0678，总概率为 6*0.0678=0.407.

5张牌的情况如下：

①5-0分布一共有2种情况，各自对应概率13/26* 12/25 * 11/24 * 10/23 * 9/22 = 0.0196, 总概率为2*0.0196=0.039；

②4-1分布一共有10种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 * 11/23 *10/22 = 0.0283, 总概率为 10*0.0283=0.283；

③3-2分布一共有20种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 * 11/22 = 0.0339，总概率为20*0.0229=0.678.

6张牌的情况如下：

①6-0分布一共有2种情况，各自对应概率13/26* 12/25 * 11/24 * 10/23 * 9/22 * 8/21 = 0.00745, 总概率为2*0.00745=0.015；

②5-1分布一共有12种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 * 11/23 *10/22 * 9/21 = 0.0121, 总概率为12*0.0121=0.145；

③4-2分布一共有30种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 * 11/22 * 10/21 = 0.0161，总概率为30*0.0161=0.484；

④3-3分布一共有20种情况，各自对应概率13/26* 13/25 * 12/24 * 12/23 * 11/22 * 11/21 = 0.0178，总概率为20*0.0178=0.355.

等等等等。

以上的计算都是建立在“第1张牌有26个位置可供放置”这个条件上的，如果这个条件本身不成立，这些数字就没有了意义。

举一个简单的例子：东家曾经作过1黑桃5张高花开叫，最后北家主打方块，庄家手里有6张将牌，东家作长4首攻黑桃3后庄家明手有3张方块，此外庄家和明手黑桃一共5张，也就是说西家有3张黑桃（这里暂且排除东家在首攻时欺诈的情况——如果东家作出长5首攻而并未事先声明ta们的首攻不是长4，也就是说东家违反了约定，但是如果这个首攻能把同伴也骗倒，那就不犯规的）。在这一瞬间，一个优秀的庄家应该先规划好做庄路线然后再命令同伴——ta也许在为大家削苹果——出牌。庄家应怎么分析外面4张将牌的分布概率呢？

目前为止全部已知信息如下：东家有5张黑桃，西家有3张。

东4-西0的概率：8/18 * 7/17* 6/16 * 5/15 = 0.0229，可能性为1，总概率为0.023；

东3-西1的概率：8/18 * 10/17* 7/16 * 6/15 = 0.0458，可能性为4，总概率为0.183；

东2-西2的概率：8/18 * 10/17* 7/16 * 9/15 = 0.0686，可能性为6，总概率为0.412；

东1-西3的概率：8/18 * 10/17* 9/16 * 8/15 = 0.0784，可能性为4，总概率为0.314；

东0-西4的概率：10/18 * 9/17* 8/16 * 7/15 = 0.0686，可能性为1，总概率为0.069.

如果东家首攻不是黑桃，而是一门看起来像双张的花色，情况又不一样。总而言之，在计算外手将牌分布概率时一定要考虑这个问题“我已经知道这两家分别已经有什么牌”？而不是机械地去套书上写的“3-2分布概率”诸如此类的数字。

当然，真正打牌的时候没有那么多时间去算得那么精确，但是作出一个大致的判断是没有问题的。就拿上面那个例子来说，我们知道在零条件下4张牌的分布概率为0.096 (4-0)，0.497 (3-1) 和0.407 (2-2). 现在已知东家手里比西家多2张黑桃，那么认为ta手里将牌更可能比西家少是非常合理的。这时候东3-西1和东1-西3分布不再是各有0.249的概率——东3-西1要低一些，西3-东1要高一些。因此清将的时候主要应考虑2-2分布和西家有3张的情况，而不是机械地按照3-1分布来打。

这些概率分析都属于“静态概率分析”，但随着出牌的进行，牌手们在不断地获取信息，这时剩余牌的分布概率就会不断发生变化，同样牌手也会调整自己的打牌策略。正因如此，桥牌才会有场上的千变万化，桥牌历久弥新的魅力也在于此。

参考文献：

https://bbs.hupu.com/2216705.html

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来源 | 航天爱好者