你的语言模型有没有“无法预测的词”？

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林

单位 | 追一科技

研究方向 | NLP、神经网络

众所周知，分类模型通常都是先得到编码向量，然后接一个 Dense 层预测每个类别的概率，而预测时则是输出概率最大的类别。但大家是否想过这样一种可能：训练好的分类模型可能存在“无法预测的类别”，即不管输入是什么，都不可能预测出某个类别 k，类别 k 永远不可能成为概率最大的那个。

当然，这种情况一般只出现在类别数远远超过编码向量维度的场景，常规的分类问题很少这么极端的。然而，我们知道语言模型本质上也是一个分类模型，它的类别数也就是词表的总大小，往往是远超过向量维度的，那么我们的语言模型是否有“无法预测的词”？（只考虑 Greedy 解码）

是否存在

ACL 2022 的论文《Low-Rank Softmax Can Have Unargmaxable Classes in Theory but Rarely in Practice》[1] 首先探究了这个问题，正如其标题所言，答案是“理论上存在但实际出现概率很小”。

首先我们来看“理论上存在”。为了证明其存在性，我们只需要具体地构建一个例子。设各个类别向量分为 ，偏置项为 ，假设类别 k 是可预测的，那么就存在 ，同时满足：

反过来，如果类别 k 不可预测，那么对于任意 ，必须存在某个 ，满足：

由于现在我们只需要举例子，所以简单起见我们先考虑无偏置项的情况，并设 k=n，此时条件为 ，也就是说，任意向量 必然能找到向量 与之夹角小于等于 90 度。不难想象，当向量数大于空间维度、向量均匀分布在空间中时，这是有可能出现的，比如二维平面上的任意向量，就必然与 之一的夹角小于 90 度，从而我们可以构造出例子：

在这个例子中，类别 5 就是不可预测的了，不信大家可以代入一些 试试。

怎么判断

现在我们已经确认了“无法预测的类别”是可能存在的，那么一个很自然的问题就是，对于一个训练好的模型，也就是给定 和 ，怎么判断其中是否存在不可预测的类别呢？

根据前一节的描述，从解不等式的角度来看，如果类别k是可预测的，那么下述不等式组的解集就会非空：

不失一般性，我们同样设 k=n，并且记 ，留意到：

所以，只要我们尽量最大化 ，如果最终结果是正的，那么类别n就是可预测的，否则就是不可预测的。如果之前读过《多任务学习漫谈：行梯度之事》的读者，就会发现该问题“似曾相识”，特别是如果没有偏置项的情况下，它跟多任务学习中寻找“帕累托最优”的过程是几乎一致的。

现在问题变为：

为了避免发散到无穷，我们可以加个约束 ：

其中r是一个常数，只要r取得足够大，它就能跟实际情况足够吻合，因为神经网络的输出通常来说也是有界的。接下来的过程就跟多任务学习漫谈：行梯度之事的几乎一样了，首先引入：

那么问题变成：

根据冯·诺依曼的 Minimax 定理 [2]，可以交换 和 的顺序：

很显然， 这一步在 且 跟 同向时取到，结果为：

当 r 足够大时，偏置项的影响就非常小了，所以这几乎就等价于没有偏置项的情形：

最后的 的求解过程已经在多任务学习漫谈：行梯度之事中讨论过了，主要用到了 Frank-Wolfe 算法，不再重复。

注： 以上判别过程是笔者自己给出的 ，跟论文《Low-Rank Softmax Can Have Unargmaxable Classes in Theory but Rarely in Practice》 [1] 中的方法并不相同。

实践如何

前面的讨论都是理论上的，那么实际的语言模型出现“无法预测的词”的概率大不大呢？原论文对一些训练好的语言模型和生成模型进行了检验，发现实际上出现的概率很小，比如下表中的机器翻译模型检验结果：

▲ 机器翻译模型的检验结果

其实这不难理解，从前面的讨论中我们知道“无法预测的词”一般只出现在类别数远远大于向量维度的情况，也就是原论文标题中的“Low-Rank”。但由于“维度灾难”的原因，“远远大于”这个概念其实并非我们直观所想的那样，比如对于 2 维空间来说，类别数为 4 就可以称得上“远远大于”，但如果是 200 维空间，那么即便是类别数为 40000 也算不上“远远大于”。常见的语言模型向量维度基本上都有几百维，而词表顶多也就是数十万的级别，因此其实还是算不上“远远大于”，因此出现“无法预测的词”的概率就很小了。

另外，我们还可以证明，如果所有的 互不相同但是模长都相等，那么是绝对不会出现“无法预测的词”，因此这种不可预测的情况只出现在 模长差异较大的情况，而在当前主流的深度模型中，由于各种 Normalization 技术的应用， 模长差异较大的情况很少出现了，这进一步降低了“无法预测的词”的出现概率了。

当然，还是文章开头说了，本文的“无法预测的词”指的是最大化预测，也就是 Greedy Search，如果用 Beam Search 或者随机采样，那么即便存在“无法预测的词”，也依然是可能生成出来的。这个“无法预测的词”，更多是一个好玩但实用价值不大的理论概念了。

最后小结

本文向大家介绍了一个没什么实用价值但是颇为有意思的现象：你的语言模型可能存在一些“无法预测的词”，它永远不可能成为概率最大者。

参考文献

[1] https://arxiv.org/abs/2203.06462

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Minimax_theorem

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