The asymptotic dimension is an invariant of metric spaces introduced by Gromov in the context of geometric group theory. In this paper, we study the asymptotic dimension of metric spaces generated by graphs and their shortest path metric and show their applications to some continuous spaces. The asymptotic dimension of such graph metrics can be seen as a large scale generalisation of weak diameter network decomposition which has been extensively studied in computer science. We prove that every proper minor-closed family of graphs has asymptotic dimension at most 2, which gives optimal answers to a question of Fujiwara and Papasoglu and (in a strong form) to a problem raised by Ostrovskii and Rosenthal on minor excluded groups. For some special minor-closed families, such as the class of graphs embeddable in a surface of bounded Euler genus, we prove a stronger result and apply this to show that complete Riemannian surfaces have Assouad-Nagata dimension at most 2. Furthermore, our techniques allow us to prove optimal results for the asymptotic dimension of graphs of bounded layered treewidth and graphs of polynomial growth, which are graph classes that are defined by purely combinatorial notions and properly contain graph classes with some natural topological and geometric flavours.


翻译:Gromov在几何组理论中引入的无光度维度是格罗莫夫在几何组理论中引入的多维空间的变异性。 在本文中,我们研究了图表及其最短路径度维度所生成的多维空间的无光度维度维度,并将这些图度的无光度维度可视为计算机科学中广泛研究过的微直径网络分解的大规模概括性。 我们证明每个适当的小封闭型图层最多都有无光度维度维度2,这为藤原和帕帕索格鲁的问题提供了最佳的答案,并为Ostrovskii和罗森塔尔在少数受排斥群体中提出的问题提供了强烈的答案。 对于某些特殊的少数封闭型家族,例如可嵌入于紧接的尤勒基因表面表面的图类,我们证明了一个更强大的结果,并运用这一结果来表明,全里曼式图面面面有Asoud-Nagata维度维度维度维度2。 此外,我们的技术使我们能够证明,对于Ostrovski和罗森(一种固定的图层图层)的平面图层的平面图级的最佳结果是固定的图层的固定的图层层的图层的底层和层结构结构结构。

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