Linearized polynomials have attracted a lot of attention because of their applications in both geometric and algebraic areas. Let $q$ be a prime power, $n$ be a positive integer and $\sigma$ be a generator of $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{q^n}\colon\mathbb{F}_q)$. In this paper we provide closed formulas for the coefficients of a $\sigma$-trinomial $f$ over $\mathbb{F}_{q^n}$ which ensure that the dimension of the kernel of $f$ equals its $\sigma$-degree, that is linearized polynomials with maximum kernel. As a consequence, we present explicit examples of linearized trinomials with maximum kernel and characterize those having $\sigma$-degree $3$ and $4$. Our techniques rely on the tools developed in [24]. Finally, we apply these results to investigate a class of rank metric codes introduced in [8], to construct quasi-subfield polynomials and cyclic subspace codes, obtaining new explicit constructions to the conjecture posed in [37].
翻译：由于在几何和代数地区的应用,多线性线性多米亚已引起人们的极大关注。 让美元成为主要电源, 美元是一个正整数, 美元是正数整数, 美元是 $\ mathrm{Gal} (\mathbb{F\\ q ⁇ \ que ⁇ \ mathb{F ⁇ qqqq) 的生成器 。 在本文中, 我们为 $\ graph$- triminomial $ 以上 $\ mathb{F ⁇ q ⁇ } 的系数提供了封闭公式 。 最后, 我们运用这些公式来调查在 [ 8] 中引入的某类等级的计量代码, 也就是以最大内核为线性多米的生成器 。 因此, 我们用最大内核核内核内核内核内核的线性三角计算出清晰度为 $\ 度为 3 美元 和 4美元 美元 。 我们使用 [24] 中开发的工具 。 最后, 我们运用这些结果来调查在 [8] 中引入的一组等级测量码,,, 建立准次空间内核空间内核内核 。
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