The Minimum Linear Arrangement problem (MLA) consists of finding a mapping $\pi$ from vertices of a graph to distinct integers that minimizes $\sum_{\{u,v\}\in E}|\pi(u) - \pi(v)|$. In that setting, vertices are often assumed to lie on a horizontal line and edges are drawn as semicircles above said line. For trees, various algorithms are available to solve the problem in polynomial time in $n=|V|$. There exist variants of the MLA in which the arrangements are constrained. Iordanskii, and later Hochberg and Stallmann (HS), put forward $O(n)$-time algorithms that solve the problem when arrangements are constrained to be planar (also known as one-page book embeddings). We also consider linear arrangements of rooted trees that are constrained to be projective (planar embeddings where the root is not covered by any edge). Gildea and Temperley (GT) sketched an algorithm for projective arrangements which they claimed runs in $O(n)$ but did not provide any justification of its cost. In contrast, Park and Levy claimed that GT's algorithm runs in $O(n \log d_{max})$ where $d_{max}$ is the maximum degree but did not provide sufficient detail. Here we correct an error in HS's algorithm for the planar case, show its relationship with the projective case, and derive simple algorithms for the projective and planar cases that run without a doubt in $O(n)$ time.


翻译:最小线性安排问题( MLA) 包括从图表的顶端找到一个映射 $\ pi$, 从图表的顶端到不同的整数, 将$sum ⁇ u, v ⁇ ⁇ in E ⁇ pi( u) -\ pi( v)\ ⁇ ) $。 在这种设置中, 顶端通常被假定位于水平线上, 边缘被画成上面的半二次曲线。 对于树来说, 各种算法都可以用$ ⁇ V ⁇ $来解决多米时间的问题。 存在一些限制安排的简单模型。 Iordanskii, 以及后来的Hoghberg 和 Stallmann (HS) 提出了美元- 时间算法, 当安排被限制为平面线性线性线性线性安排( 在根部没有被任何边缘覆盖的地方, 。 GLO 和 Stallmann 的算法没有以 $O (n) $ 来显示它的投算法 。 在 Revax 中, Pro devely productions is the we ral deal a rial deal rial rial_ d' pas.

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