A k-role coloring alpha of a graph G is an assignment of k colors to the vertices of G such that if any two vertices are assigned the same color, then their neighborhood are assigned the same set of colors. That is, if alpha(u) = alpha(v) for a pair of vertices u and v, then the set of colors assigned to N(u) and N(v) are the same (where N(u) is the set of neighbors of u). By definition, every graph on n vertices admits an n-role coloring. While for every graph on n vertices, it is trivial to decide if it admits a 1-role coloring, determining whether a graph admits a k-role coloring is a notoriously hard problem for k greater than 1. In fact, it is known that k-Role coloring is NP-complete for k greater than 1 on arbitrary graphs. There has been extensive research on the complexity of k-role coloring on various hereditary graph classes. Furthering this direction of research, we show that k-Role coloring is NP-complete on bipartite graphs for k greater than 2 (while it is trivial for k = 2). We complement the hardness result by characterizing 3-role colorable bipartite chain graphs, leading to a polynomial-time algorithm for 3-Role coloring for this class of graphs. We further show that 2-Role coloring is NP-complete for graphs that are d vertices or edges away from the class of bipartite graphs, even when d = 1.


翻译:图形 G 的 K- 函数颜色 Alpho G 的 Alpha 是向 G 的顶端分配 k 颜色的颜色, 这样, 如果给任何两个顶端配的是相同的颜色, 那么他们的邻居就会被分配到相同的颜色。 也就是说, 如果给一对顶端 u 和 v 的 K- 函数颜色为, 那么分配给 N( u) 和 N( v) 的一组颜色是相同的( N( u) 是 u 的邻居 的一组)。 根据定义, n 顶端 的每类图都含有 n- roy 颜色。 如果给 n 顶端 的每一个顶端配有相同的颜色, 那么给它们分配一个相同的颜色。 如果给一对一对一的顶端的顶端, 那么要决定它是否承认 1 色色色, 也就是确定一张K- 色调是否是一个臭名的硬性硬性硬性硬性硬性硬性的问题 。 在各种遗传图形类中, k- 的 K- ple 颜色颜色颜色为我们平级 的平级平级平级平级平级 显示 2 的平级 。

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