We study the Maximum Independent Set (MIS) problem under the notion of stability introduced by Bilu and Linial (2010): a weighted instance of MIS is $\gamma$-stable if it has a unique optimal solution that remains the unique optimum under multiplicative perturbations of the weights by a factor of at most $\gamma\geq 1$. The goal then is to efficiently recover the unique optimal solution. In this work, we solve stable instances of MIS on several graphs classes: we solve $\widetilde{O}(\Delta/\sqrt{\log \Delta})$-stable instances on graphs of maximum degree $\Delta$, $(k - 1)$-stable instances on $k$-colorable graphs and $(1 + \varepsilon)$-stable instances on planar graphs. For general graphs, we present a strong lower bound showing that there are no efficient algorithms for $O(n^{\frac{1}{2} - \varepsilon})$-stable instances of MIS, assuming the planted clique conjecture. We also give an algorithm for $(\varepsilon n)$-stable instances. As a by-product of our techniques, we give algorithms and lower bounds for stable instances of Node Multiway Cut. Furthermore, we prove a general result showing that the integrality gap of convex relaxations of several maximization problems reduces dramatically on stable instances. Moreover, we initiate the study of certified algorithms, a notion recently introduced by Makarychev and Makarychev (2018), which is a class of $\gamma$-approximation algorithms that satisfy one crucial property: the solution returned is optimal for a perturbation of the original instance. We obtain $\Delta$-certified algorithms for MIS on graphs of maximum degree $\Delta$, and $(1+\varepsilon)$-certified algorithms on planar graphs. Finally, we analyze the algorithm of Berman and Furer (1994) and prove that it is a $\left(\frac{\Delta + 1}{3} + \varepsilon\right)$-certified algorithm for MIS on graphs of maximum degree $\Delta$ where all weights are equal to 1.


翻译:我们根据Bilu和Linial (2010年) 引入的稳定性概念研究最大独立Set(MIS)问题:如果MIS的加权实例为$+Gamma美元,如果它有一个独特的最佳解决方案,在以美元为单位的倍增振度下,重力因子的倍增振动下仍然是独特的最佳办法。然后的目标是高效恢复独特的最佳解决办法。在这项工作中,我们在若干图表类别中解决了MIS的稳定实例:我们解决了$(Upliste{O}(Delta/sqrt=$Delta} 美元;如果MIS的加权实例在最大度$+Delta美元、$(k-1)美元在美元为单位的倍增振动下振动下。对于O(ncreflistaltial) 的快速算法来说, 最稳定的MALILA(美元) 和最稳定的变电算法的美元。

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