In this paper, we give bounds on the dichromatic number $\vec{\chi}(\Sigma)$ of a surface $\Sigma$, which is the maximum dichromatic number of an oriented graph embeddable on $\Sigma$. We show that there exist two constants $a_1$ and $a_2$ such that, $ a_1\frac{\sqrt{-c}}{\log(-c)} \leq \vec{\chi}(\Sigma) \leq a_2 \sqrt{\frac{-c}{\log(-c)}} $ for every surface $\Sigma$ with Euler characteristic $c\leq -2$. We then give more explicit bounds for some surfaces with high Euler characteristic. In particular, we show that the dichromatic numbers of the projective plane $\mathbb{N}_1$, the Klein bottle $\mathbb{N}_2$, the torus $\mathbb{S}_1$, and Dyck's surface $\mathbb{N}_3$ are all equal to $3$, and that the dichromatic numbers of the $5$-torus $\mathbb{S}_5$ and the $10$-cross surface $\mathbb{N}_{10}$ are equal to $4$. We also consider the complexity of deciding whether a given digraph or oriented graph embedabble in a fixed surface is $k$-dicolourable. In particular, we show that for any surface, deciding whether a digraph embeddable on this surface is $2$-dicolourable is NP-complete, and that deciding whether a planar oriented graph is $2$-dicolourable is NP-complete unless all planar oriented graphs are $2$-dicolourable (which was conjectured by Neumann-Lara).


翻译:在本文中, 我们给出了 $\ vec_ chi} (\ sigma) 的底色值 $\ sigma$ (Sgma) 的底色值 $\ sgma$\ sgma$, 这是嵌入于 $\ sgma$ 的向导图形的最大正色值 $\ 1 美元 和 $ 2 美元, 这样, a_ 1\ frac\ sqration{ - cchi} (\ sigma) 的底色值 $ $ (Sgma) (leq a_ 2\ sqrt) 美元 美元 美元 美元 的底色值 $ * c\ 美元 美元 。 我们给出了两个常态值 $1 和 $ 2 美元 美元 美元 和 美元 美元 美元 的底色值 。 我们展示的投影平面值值值 $ = 美元 美元 美元 和 美元 美元

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