Deep neural networks have achieved remarkable success in diverse applications, prompting the need for a solid theoretical foundation. Recent research has identified the minimal width $\max\{2,d_x,d_y\}$ required for neural networks with input dimensions $d_x$ and output dimension $d_y$ that use leaky ReLU activations to universally approximate $L^p(\mathbb{R}^{d_x},\mathbb{R}^{d_y})$ on compacta. Here, we present an alternative proof for the minimal width of such neural networks, by directly constructing approximating networks using a coding scheme that leverages the properties of leaky ReLUs and standard $L^p$ results. The obtained construction has a minimal interior dimension of $1$, independent of input and output dimensions, which allows us to show that autoencoders with leaky ReLU activations are universal approximators of $L^p$ functions. Furthermore, we demonstrate that the normalizing flow LU-Net serves as a distributional universal approximator. We broaden our results to show that smooth invertible neural networks can approximate $L^p(\mathbb{R}^{d},\mathbb{R}^{d})$ on compacta when the dimension $d\geq 2$, which provides a constructive proof of a classical theorem of Brenier and Gangbo. In addition, we use a topological argument to establish that for FNNs with monotone Lipschitz continuous activations, $d_x+1$ is a lower bound on the minimal width required for the uniform universal approximation of continuous functions $C^0(\mathbb{R}^{d_x},\mathbb{R}^{d_y})$ on compacta when $d_x\geq d_y$.


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神经网络(Neural Networks)是世界上三个最古老的神经建模学会的档案期刊:国际神经网络学会(INNS)、欧洲神经网络学会(ENNS)和日本神经网络学会(JNNS)。神经网络提供了一个论坛,以发展和培育一个国际社会的学者和实践者感兴趣的所有方面的神经网络和相关方法的计算智能。神经网络欢迎高质量论文的提交,有助于全面的神经网络研究,从行为和大脑建模,学习算法,通过数学和计算分析,系统的工程和技术应用,大量使用神经网络的概念和技术。这一独特而广泛的范围促进了生物和技术研究之间的思想交流,并有助于促进对生物启发的计算智能感兴趣的跨学科社区的发展。因此,神经网络编委会代表的专家领域包括心理学,神经生物学,计算机科学,工程,数学,物理。该杂志发表文章、信件和评论以及给编辑的信件、社论、时事、软件调查和专利信息。文章发表在五个部分之一:认知科学,神经科学,学习系统,数学和计算分析、工程和应用。 官网地址:http://dblp.uni-trier.de/db/journals/nn/
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