The Defensive Alliance problem has been studied extensively during the last twenty years. A set $S$ of vertices of a graph is a defensive alliance if, for each element of $S$, the majority of its neighbours is in $S$. We consider the notion of local minimality in this paper. We are interested in locally minimal defensive alliance of maximum size. This problem is known to be NP-hard but its parameterized complexity remains open until now. We enhance our understanding of the problem from the viewpoint of parameterized complexity. The main results of the paper are the following: (1) when the input graph happens to be a tree, Connected Locally Minimal Strong Defensive Alliance} can be solved in polynomial time, (2) the Locally Minimal Defensive Alliance problem is NP-complete, even when restricted to planar graphs, (3) a color coding algorithm for Exact Connected Locally Minimal Defensive Alliance, (4) the Locally Minimal Defensive Alliance problem is fixed parameter tractable (FPT) when parametrized by neighbourhood diversity, (5) the Exact Connected Locally Minimal Defensive Alliance problem parameterized by treewidth is W[1]-hard and thus not FPT (unless FPT=W[1]), (6) Locally Minimal Defensive Alliance can be solved in polynomial time for graphs of bounded treewidth.
翻译：在过去二十年中,对防御性联盟问题进行了广泛的研究。一个图表的固定值为$S的顶点是一个防御性联盟,如果一个输入图恰好是一棵树,那么其大多数邻居的连接点就是$S$。我们考虑的是本文中本地最小值概念。我们感兴趣的是本地最小值防御性联盟,其最大尺寸。这个问题已知是NP硬的,但其参数化复杂性一直开放到现在。我们从参数化复杂度的角度加深了对这一问题的理解。本文的主要结果如下:(1) 当输入图恰好是一棵树时,它的大多数邻居的连接点是本地最小度强度防御联盟 能够在多元时解决的。(2) 本地最小度不敏感度联盟问题是NP-完整的,即使局限于平面图,(3) 本地端连接点最小度防御性联盟的颜色编码算法,(4) 本地最小度不敏度联盟问题在通过社区多样化校正化的本地端点 (5) 本地端点连接点 软度联盟的底度 度 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面
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