A singularly (near) optimal distributed algorithm is one that is (near) optimal in \emph{two} criteria, namely, its time and message complexities. For \emph{synchronous} CONGEST networks, such algorithms are known for fundamental distributed computing problems such as leader election [Kutten et al., JACM 2015] and Minimum Spanning Tree (MST) construction [Pandurangan et al., STOC 2017, Elkin, PODC 2017]. However, it is open whether a singularly (near) optimal bound can be obtained for the MST construction problem in general \emph{asynchronous} CONGEST networks. We present a randomized distributed MST algorithm that, with high probability, computes an MST in \emph{asynchronous} CONGEST networks and takes $\tilde{O}(D^{1+\epsilon} + \sqrt{n})$ time and $\tilde{O}(m)$ messages, where $n$ is the number of nodes, $m$ the number of edges, $D$ is the diameter of the network, and $\epsilon >0$ is an arbitrarily small constant (both time and message bounds hold with high probability). Our algorithm is message optimal (up to a polylog$(n)$ factor) and almost time optimal (except for a $D^{\epsilon}$ factor). Our result answers an open question raised in Mashregi and King [DISC 2019] by giving the first known asynchronous MST algorithm that has sublinear time (for all $D = O(n^{1-\epsilon})$) and uses $\tilde{O}(m)$ messages. Using a result of Mashregi and King [DISC 2019], this also yields the first asynchronous MST algorithm that is sublinear in both time and messages in the $KT_1$ CONGEST model. A key tool in our algorithm is the construction of a low diameter rooted spanning tree in asynchronous CONGEST that has depth $\tilde{O}(D^{1+\epsilon})$ (for an arbitrarily small constant $\epsilon > 0$) in $\tilde{O}(D^{1+\epsilon})$ time and $\tilde{O}(m)$ messages. To the best of our knowledge, this is the first such construction that is almost singularly optimal in the asynchronous setting.


翻译:奇数( 近) 最佳分布式算法是一种( 近) 最优化的计算法, 也就是它的时间和讯息复杂性。 对于 CONEST 网络来说, 这种算法以基本分布式计算问题而著称, 例如领导人选举 [Kutten et al., JACM 2015] 和最小的覆盖树( MST) 构建 [Pandurangan et al., STOC 2017, Elkin, PDC 2017] 。 然而, 但它开放了, 是否能够以一般的 emph =SUnelly commodel1 标准为MST 的( 近) 最佳( 最接近 ) 最佳的解算法 。 美元是, 美元是一个稳定的计算结果, 以我们的网络为最高( 美元) 时间 和 美元 数字 。

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