We consider the cyclotomic identity testing (CIT) problem: given a polynomial $f(x_1,\ldots,x_k)$, decide whether $f(\zeta_n^{e_1},\ldots,\zeta_n^{e_k})$ is zero, where $\zeta_n = e^{2\pi i/n}$ is a primitive complex $n$-th root of unity and $e_1,\ldots,e_k$ are integers, represented in binary. When $f$ is given by an algebraic circuit, we give a randomized polynomial-time algorithm for CIT assuming the generalised Riemann hypothesis (GRH), and show that the problem is in coNP unconditionally. When $f$ is given by a circuit of polynomially bounded degree, we give a randomized NC algorithm. In case $f$ is a linear form we show that the problem lies in NC. Towards understanding when CIT can be solved in deterministic polynomial-time, we consider so-called diagonal depth-3 circuits, i.e., polynomials $f=\sum_{i=1}^m g_i^{d_i}$, where $g_i$ is a linear form and $d_i$ a positive integer given in unary. We observe that a polynomial-time algorithm for CIT on this class would yield a sub-exponential-time algorithm for polynomial identity testing. However, assuming GRH, we show that if the linear forms~$g_i$ are all identical then CIT can be solved in polynomial time. Finally, we use our results to give a new proof that equality of compressed strings, i.e., strings presented using context-free grammars, can be decided in randomized NC.


翻译:我们考虑环球身份测试( CIT) 问题 : 鉴于一个多数值 $f( x_ 1,\ ldots,x_k) 美元, 确定美元是否为零, 美元是否为零, 美元是否为零, 美元= e% 2\pi i/n}, 美元= e% 2\ pi/ k} 是一个原始复杂的 美元统一根基和 $_ 1, 美元=lfots, e_k$ 全部为整数, 以二进制表示。 当 美元由 algebraic 电路提供时, 我们给 CIT 随机化的多数值算算法值值值值值值为 1, 假设问题在 Cemann 假设值 (GRIH) 中是无条件的。 当美元由聚集度的电解路由电流线路流提供时, 我们给出了 NC. $ is a centif is a we deal for sweal ex.

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