We consider the all pairs all shortest paths (APASP) problem, which maintains all of the multiple shortest paths for every vertex pair in a directed graph $G=(V,E)$ with a positive real weight on each edge. We present two fully dynamic algorithms for this problem in which an update supports either weight increases or weight decreases on a subset of edges incident to a vertex. Our first algorithm runs in amortized $O({\nu^*}^2 \cdot \log^3 n)$ time per update, where $n = |V|$, and $\nu^*$ bounds the number of edges that lie on shortest paths through any single vertex. Our APASP algorithm leads to the same amortized bound for the fully dynamic computation of betweenness centrality (BC), which is a parameter widely used in the analysis of large complex networks. Our method is a generalization and a variant of the fully dynamic algorithm of Demetrescu and Italiano [DI04] for unique shortest path, and it builds on our recent decremental APASP [NPR14]. Our second (faster) algorithm reduces the amortized cost per operation by a logarithmic factor, and uses new data structures and techniques that are extensions of methods in a fully dynamic algorithm by Thorup.


翻译:我们认为所有配对都是最短路径(APASP)问题,它维持每个顶端对每对顶端的所有多最短路径,在每边缘均具有正正实际重量的G=(V,E)美元中,每个端端点保持所有多最短路径。我们为这一问题提出了两种完全动态的算法,在这一问题中,更新支持子边端事件的重量增加或重量下降,在子端事件到顶点的一个子上,一个完全动态的算法。我们的第一个算法是每更新以折价美元(O)(xnu ⁇ 2\cdo\log%3 n)计算,每更新就保留所有多条最短路径,美元= ⁇ V ⁇ $,而$$= ⁇ @V$,而$\nu ⁇ $($NPR14)和$Nnu ⁇ $($Nnu ⁇ ) 将最短路径上的边缘数捆绑定。我们的APASPA[NPR14]在任何单一的顶端点上,我们的“最短路径”的边点上,我们“APASP”算算算算算算算算算算算算法和“第二个“动态逻辑”将完全用动态的逻辑和逻辑化的逻辑结构降低成本和逻辑化。

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