We propose a new asymptotic expansion for the fractional $p$-Laplacian with precise computations of the errors. Our approximation is shown to hold in the whole range $p\in(1,\infty)$ and $s\in(0,1)$, with errors that do not degenerate as $s\to1^-$. These are super-quadratic for a wide range of $p$ (better far from the zero gradient points), and optimal in most cases. One of the main ideas here is the fact that the singular part of the integral representation of the fractional $p$-Laplacian behaves like a local $p$-Laplacian with a weight correction. As a consequence of this, we also revisit a previous asymptotic expansion for the classical $p$-Laplacian, whose error orders were not known. Based on the previous result, we propose monotone finite difference approximations of the fractional $p$-Laplacian with explicit weights and we obtain the error estimates. Finally, we introduce explicit finite difference schemes for the associated parabolic problem in $\mathbb{R}^d$ and show that it is stable, monotone and convergent in the context of viscosity solutions. An interesting feature is the fact that the stability condition improves with the regularity of the initial data.
翻译:我们建议对分数 $ p$- laplacian 进行新的微调扩张, 并精确计算错误。 我们的近似值显示在美元( 1,\ infty) 美元和 $( 0, 1) 美元( 0. 1) 美元之间, 错误不会退化为 $( 10, 1美元 ) 。 这些错误对于范围很广( 远离零梯度点) 来说是超偏差的。 这里的主要想法之一是, 分数 $ p 美元- Laplacian 整体代表的单部分表现为本地的 $ p$- Laplacean 和重量校正校正。 因此, 我们还重新审视了古典的 $ $- Laplaceian 的偏差扩张。 根据上一个结果, 我们提出了分数 $- Laplacecian 的最小差差差比值的单数, 并且我们获得了错误估计。 最后, 我们引入了明确的定值差异方案, 与相联的 Parapace $ 和 lasmacol 初步 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 比较 比较 比较 的解度, 是 的精确度 度 的 的 的 的 度 的 度 度 度 的 度 度 度 度 度 的 度 度 度 度 度 度 的 。</s>