Many applications, such as system identification, classification of time series, direct and inverse problems in partial differential equations, and uncertainty quantification lead to the question of approximation of a non-linear operator between metric spaces $\mathfrak{X}$ and $\mathfrak{Y}$. We study the problem of determining the degree of approximation of a such operators on a compact subset $K_\mathfrak{X}\subset \mathfrak{X}$ using a finite amount of information. If $\mathcal{F}: K_\mathfrak{X}\to K_\mathfrak{Y}$, a well established strategy to approximate $\mathcal{F}(F)$ for some $F\in K_\mathfrak{X}$ is to encode $F$ (respectively, $\mathcal{F}(F)$) in terms of a finite number $d$ (repectively $m$) of real numbers. Together with appropriate reconstruction algorithms (decoders), the problem reduces to the approximation of $m$ functions on a compact subset of a high dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^d$, equivalently, the unit sphere $\mathbb{S}^d$ embedded in $\mathbb{R}^{d+1}$. The problem is challenging because $d$, $m$, as well as the complexity of the approximation on $\mathbb{S}^d$ are all large, and it is necessary to estimate the accuracy keeping track of the inter-dependence of all the approximations involved. In this paper, we establish constructive methods to do this efficiently; i.e., with the constants involved in the estimates on the approximation on $\\mathbb{S}^d$ being $\mathcal{O}(d^{1/6})$. We study different smoothness classes for the operators, and also propose a method for approximation of $\mathcal{F}(F)$ using only information in a small neighborhood of $F$, resulting in an effective reduction in the number of parameters involved. To further mitigate the problem of large number of parameters, we propose prefabricated networks, resulting in a substantially smaller number of effective parameters.


翻译:许多应用程序, 例如系统识别、 时间序列分类 、 部分差异方程中直接和反的问题 。 如果 $\ mathfrak{ 和不确定性量化导致一个非线性操作员在公用空间 $\ mathfrak{Y} 美元和 $\ mathfrak{Y} 美元之间的近似问题 。 我们研究如何在一个常规子集 $K\ mathfrak{X{ subset} 中确定一个非线性操作员的近似程度问题 。 如果 $\ mathcal{ 参数, 直径 直径{ 直径 { f} 以及不确定性 {xxxxxxx=xxxxxxx 参数 美元 的近似近似值 。 以一个小数 $\\ mathfr=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

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