Consider the problem of matching two independent i.i.d. samples of size $N$ from two distributions $P$ and $Q$ in $\mathbb{R}^d$. For an arbitrary continuous cost function, the optimal assignment problem looks for the matching that minimizes the total cost. We consider instead in this paper the problem where each matching is endowed with a Gibbs probability weight proportional to the exponential of the negative total cost of that matching. Viewing each matching as a joint distribution with $N$ atoms, we then take a convex combination with respect to the above Gibbs probability measure. We show that this resulting random joint distribution converges, as $N\rightarrow \infty$, to the solution of a variational problem, introduced by F\"ollmer, called the Schr\"odinger problem. We also derive the first two error terms of orders $N^{-1/2}$ and $N^{-1}$, respectively. This gives us central limit theorems for integrated test functions, including for the cost of transport, and second order Gaussian chaos limits when the limiting Gaussian variance is zero. The proofs are based on a novel chaos decomposition of the discrete Schr\"odinger bridge by polynomial functions of the pair of empirical distributions as the first and second order Taylor approximations in the space of measures. This is achieved by extending the Hoeffding decomposition from the classical theory of U-statistics.
翻译:考虑将两个独立的i. i. d. 大小样本与两个分配单位的美元和美元美元相匹配的问题。 对于任意的连续成本函数, 最佳分配问题寻求匹配以尽量减少总成本。 我们在本文件中考虑的问题是, 每个匹配单位的概率比重与该匹配负总成本的指数成正比。 将每个匹配单位与美元原子进行联合分配时, 我们随后将上述Gibbs概率测量值进行交配。 我们显示, 由此产生的随机联合分配( 如 $N\rightrowr\ reinfty$ ), 与F\\\"olmer, 称之为Schr\\\" odinger 问题所引入的变异性问题的解决方案相匹配。 我们还分别得出了顺序 $N ⁇ -1/2} 和 $N ⁇ -1 美元 的首两个错误条件。 这让我们对综合测试功能( 包括运输成本) 进行核心限制, 而第二个顺序是测量点的混乱程度, 也就是在 将摩洛卡 的 度 度 的 度 度 度 度 度 度 的 度 度 的 度分布 的 的 的 的 度 的 的 的 以 以 基 基 基 基 基 度 的 的 的 基 度 基 基 基 的 的 的 度 基 基 度 度 的 度 度 的 基 基 基 基 度 的 的 度 度 的 度 度 度 的 的 度 度 度 基 的 的 基 基 度 度 的 的 基 度 的 基 基 的 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 度 的 的 的 的 度 度 度 度 度 的 的 度 度 度 度 的 。