大学数学（高数线代）直观理解（二）
本专栏指南：专栏里的每篇文章，我都会大概和包子，可乐，炒菜，火锅……对比一下才会发出来，确保专栏里的每篇文章至少顶两个包子，至多……未知。我想靠推动一下大家学习的进程来自力更生丰衣足食，不知道大家资瓷不资瓷啊？
别误会了，各位，今天我只是邀请大家一起来幻想的。
最简单的大概就是点、线、面、体之类的了。让我们开始幻想，一维空间，二维空间，三维空间……在一个方向上，空间慢慢展开。在两个方向上，让空间慢慢展开。在三个方向上……
这时，如果要我们描述n维空间的概念的话，我们大概会说：所谓一维空间，就是在一个方向上无限扩张（延长）的存在，二维空间，就是在两个方向上无限扩张的存在。而三维空间，说白了就是一个在三个方向无限扩张的存在，那么我们推广到更高的维度，比如n维空间，意思就是一个朝着n个方向无限扩张的存在（只不过这个直观想象不出来）。
以上段落在我刚写的时候，我觉得是浅显易懂，无懈可击的。如果你也这么认为，说明——你还是没动脑筋。
动脑筋的小朋友看了后就问我，小明同学，前/后/左/右是四个方向，你怎么说那是二维呢？
……你是来找茬的？？？
不过，我们很快能意识到，我们说上述加粗文字的时候，脑中所浮现的“方向”，其实都默认是互不相关的方向，不然的话我们甚至可以说平面在无穷多个方向上扩张——其实也没有错，只是这些方向，都可以被最基础的两个表示出来而已。
怎么表示？你应该想到向量的合成了。如果给你一组向量，里面的向量
不能被其他向量表示出来，那么
（在这个向量组里）就是独立的，是和其他那些不相关的。如果这个向量组里的每一个向量，都不能被这组里其他的向量表示，那么就是说它们都是彼此无关的，这样的向量组叫做极大线性无关组。
话说如果一个向量在这个组里可以被其他成员所表示——那这个向量有卵用……
我不知道大家学的时候是什么感觉，n个彼此无关的向量可以构筑一个n维空间，书上把向量组A的极大线性无关组里面的向量个数叫做向量组A的秩，秩其实就是等级的意思。你向量组A里面彼此无关的向量越多，所构筑的空间维度等级越高。
动脑筋的小朋友又出来了，又指着屏幕说：“你说n个彼此无关的向量可以构筑一个n维空间，具体怎么构筑？好好的n个向量，怎么就构筑成空间了呢？”
哈哈哈哈哈！这真是个好问题，我们得按一定的结构才能筑成空间。我们之前说，n维空间，粗糙地说就是一个在n个（不相关）方向上无限扩张的结构。那么，很显然的，要靠不相关方向能得到相关方向，前提条件是向量可以进行合成才行。而无限扩张说明向量必须得能够缩放吧。合成和缩放，这用代数的观点看，是要我们干嘛？加法和数乘啊！下面就是我们具体把这个空间构筑起来：
首先我们要有个向量组，拿里面线性无关的向量做基。赋予加法和数乘两种运算，两种运算的具体定义如下：
加法：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)
（3）（零元素）在V中有一元素θ，对于V中任一元素x都有x+θ=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；
数乘
（5）（1乘律）1x=x；
（6）（结合律）k(bx)=(kb)x；
然后再考虑一下混合运算——
（7）（分配律）(k+b)x=kx+bx；（k倍的缩放加 b 倍的缩放等于k+b倍的缩放）
（8）（数因子分配律）k(x+y)=kx+ky．（合成后再缩放等于缩放后再合成）
k，b等元素属于一个数域P（初学者就理解成R吧）。
好了，数学家拍拍手，这样我们就得出一个向量空间了。
记住这个例子，对于很多人来说，这也许是我们第一次接触数学里”结构“这个概念，而且也许是最后一次。而数学专业的同学以后肯定会再次接触这个概念的。你看，我们这次构筑空间后，至少我们会在直觉里把元素和它们的运算律（映射关系）这些东西和”结构“扯上关系了。下次如果看到什么”代数结构“之类的词也不至于一脸懵逼。
矩阵这个东西实在是个大发明，但其实就表达拿特定的向量所构筑的一个空间。搞个简单的，比如“(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)三个向量所构筑一个三维空间”，这么长一句话的内容其实一个矩阵就表达完了——
嗯……这个是单位阵形式。当然你还可以搞各种花式构筑，比如我们用(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)作为基底一样可以构筑三维空间，表达出来就是这样子的
。不过这些矩阵都是等价的，他们实际上都表示同一个空间，只不过描述方式不一样罢了。
但有的时候，我们会看到这样的
，这个按理说，应该是(1,2,3)(4,5,6)两个向量做基底，构筑的就是二维空间，但它和
不等价。因为从理论上说，既然一个向量，用了三个坐标表示，那意味着我们已经把它放在了一个三维空间里思考，不过这两个向量本身只能构成一个二维空间。所以总的来说，
这个矩阵表示的是一个在三维空间里的二维空间。我们称它表示的是三维空间的一个子空间。三维空间里等级最高为三，像
的等级就达到了满级，而
却没有达到满级。哦，数学里面叫满秩。
任何n阶的满秩矩阵就是n维空间那一定可以表示成n阶单位阵
。事实上，我们知道向量是可以缩放与合成的，比如
是个以(1,2)(3,4)为基的二维空间吧，而这两个基其实完全可以变成(1,0)(0,1)，没错吧。怎么变？缩放+合成嘛。也就是用之前说的加法和数乘啊。我们先把(1,2)放大嘛，放大个两倍成(2,4)，再反个向得到(-2,-4)，然后和(3,4)合成就可以得到(1,0)了，然后再用(1,0)的反向(-1,0)和(1,2)合成，就会得到(0,2)，缩放后就是(0,1)，OK，基底变换完成。这个就是初等行变换的意思。
基础知识基本就到这里了，也许你还没看够。因为之后的信息量简直要爆炸，我处理三四天了实在没处理得过来，只能放在下一篇了。等价相似特征值，高斯格林斯托克，还有有趣的行列式！这段时间大家多幻想一下空间的扩张，说不定自己就会有奇妙的体验哦。
敬请期待。
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