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学习目标
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了解几何变换的概念与应用 -
理解平移、旋转的原理 -
掌握在OpenCV框架下实现平移、旋转操作
向前映射与向后映射
1. 前向映射
图像的几何变换就是建立一种源图像像素与变换后的图像像素之间的映射关系。也正是通过这种映射关系可以知道原图像任意像素点变换后的坐标，或者是变换后的图像在原图像的坐标位置等。
浮点数坐标，如（1，1）映射为（0.5，0.5）,显然这是一个无效的坐标，这时我们需要使用插值算法进行进一步处理。
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可能会有多个像素坐标映射到输出图像的同一位置，也可能输出图像的某些位置完全没有相应的输入图像像素与它匹配，也就是没有被映射到，造成有规律的空洞（黑色的蜂窝状）。
可以看到，旋转三十度后，输出图像两个红色的点被映射到同一个坐标，而没有点被映射到绿色问号处，这就造成了间隙和重叠，导致出现蜂窝状空洞。
为了克服前向映射的这些不足，因此引进了“后向映射”，它的数学表达式为：
在使用过程中，如果在一些不改变图像大小的几何变换中，向前映射还是十分有效的，向后映射主要运用在图像的旋转的缩放中，因为这些几何变换都会改变图像的大小。
几何变换
先看第一个问题，变换的形式。在本篇文章里图像的几何变换全部都采用统一的矩阵表示法，形式如下：
这就是向前映射的矩阵表示法，其中 ， 表示输出图像像素的坐标， , 表示输入图像像素的坐标，同理，向后映射的矩阵表示为：
可以证明，向后映射的矩阵的表示正好是向前映射的逆变换。
下面举几个例子。原图如下：
2. 放大为原来的两倍
3. 顺时针旋转45度
4. 水平偏移2个单位
坐标系变换
我们都知道，图像坐标的原点在图像左上角，水平向右为 X 轴，垂直向下为 Y 轴。数学课本中常见的坐标系是以图像中心为原点，水平向右为 X 轴，垂直向上为 Y 轴，称为笛卡尔坐标系。看下图:
因此，对于旋转和偏移，就需要3步（3次变换）：
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将输入原图图像坐标转换为笛卡尔坐标系； -
进行旋转计算。旋转矩阵前面已经给出了； 将旋转后的图像的笛卡尔坐标转回图像坐标。
那么，图像坐标系与笛卡尔坐标系转换关系是什么呢？先看下图：
在图像中我们的坐标系通常是AB和AC方向的,原点为A，而笛卡尔直角坐标系是DE和DF方向的，原点为D。
逆变换为：
于是，根据前面说的3个步骤（3次变换），旋转(顺时针旋转)的变换形式就为，3次变换就有3个矩阵：
基于OpenCV的实现
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工具：OpenCV4.1.0+VS2019 平台：WIN10
函数原型（c++）
OpenCV仿射变换相关的函数一般涉及到warpAffine和getRotationMatrix2D这两个：
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使用OpenCV函数warpAffine 来实现一些简单的重映射. OpenCV函数getRotationMatrix2D 来获得旋转矩阵。
1. warpAffined函数详解
void boxFilter( InputArray src, OutputArray dst,int ddepth,Size ksize,Point anchor = Point(-1,-1),bool normalize = true,int borderType = BORDER_DEFAULT );
第一个参数，InputArray类型的src，输入图像，即源图像，填Mat类的对象即可。
第二个参数，OutputArray类型的dst，函数调用后的运算结果存在这里，需和源图片有一样的尺寸和类型。
第三个参数，InputArray类型的M，2×3的变换矩阵。
第四个参数，Size类型的dsize，表示输出图像的尺寸。
第五个参数，int类型的flags，插值方法的标识符。此参数有默认值INTER_LINEAR(线性插值)。
第六个参数，int类型的borderMode，边界像素模式，默认值为BORDER_CONSTANT。
第七个参数，const Scalar&类型的borderValue，在恒定的边界情况下取的值，默认值为Scalar()，即0。
2. getRotationMatrix2D函数详解
C++: Mat getRotationMatrix2D(Point2f center, double angle, double scale)参数：
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第一个参数，Point2f类型的center，表示源图像的旋转中心。 -
第二个参数，double类型的angle，旋转角度。角度为正值表示向逆时针旋转（坐标原点是左上角）。 -
第三个参数，double类型的scale，缩放系数。
实现示例（c++)
1、旋转
Mat src = imread("../image/source3.jpg");//读取原图像cv::Mat dst;//旋转角度double angle = 45;cv::Size src_sz = src.size();cv::Size dst_sz(src_sz.height, src_sz.width);int len = std::max(src.cols, src.rows);//指定旋转中心（图像中点）cv::Point2f center(len / 2., len / 2.);//获取旋转矩阵（2x3矩阵）cv::Mat rot_mat = cv::getRotationMatrix2D(center, angle, 1.0);//根据旋转矩阵进行仿射变换cv::warpAffine(src, dst, rot_mat, dst_sz);//显示旋转效果cv::imshow("image", src);cv::imshow("result", dst);cv::waitKey(0);return 0;
但是这么写有一个问题，就是旋转后图像会被截断，如下图所示：（左边为原图,右边为顺时针旋转45度后的图）
可以看到，图像的一部分被截断了，其原因是：
2. OpenCv将坐标转成笛卡尔坐标系后没转回图像坐标系。
其中比较难理解的是图像大小的变换，下面举一个例子大家就能明白了：
代码如下：
Mat src = imread("../image/source3.jpg");//读取原图像Mat dst;// 旋转角度double angle = 45.0;// 计算旋转后输出图形的尺寸int rotated_width = ceil(src.rows * fabs(sin(angle * CV_PI / 180)) + src.cols * fabs(cos(angle * CV_PI / 180)));int rotated_height = ceil(src.cols * fabs(sin(angle * CV_PI / 180)) + src.rows * fabs(cos(angle * CV_PI / 180)));// 计算仿射变换矩阵Point2f center(src.cols / 2, src.rows / 2);Mat rotate_matrix = getRotationMatrix2D(center, angle, 1.0);// 防止切边，对平移矩阵B进行修改rotate_matrix.at<double>(0, 2) += (rotated_width - src.cols) / 2;rotate_matrix.at<double>(1, 2) += (rotated_height - src.rows) / 2;// 应用仿射变换warpAffine(src, dst, rotate_matrix, Size(rotated_width, rotated_height), INTER_LINEAR, 0, Scalar(255, 255, 255));imshow("result", dst);cv::imwrite("right.jpg", dst);waitKey();return 0;
结果：
2、平移
Mat src = imread("../image/source2.jpg");//读取原图像cv::Mat dst;cv::Size dst_sz = src.size();//定义平移矩阵cv::Mat t_mat =cv::Mat::zeros(2, 3, CV_32FC1);t_mat.at<float>(0, 0) = 1;t_mat.at<float>(0, 2) = 300; //水平平移量t_mat.at<float>(1, 1) = 1;t_mat.at<float>(1, 2) = 300; //竖直平移量//根据平移矩阵进行仿射变换cv::warpAffine(src, dst, t_mat, dst_sz);//显示平移效果cv::imshow("image", src);cv::imshow("result", dst);cv::waitKey(0);return 0;
3. 仿射变化
#include <opencv2/opencv.hpp>#include <iostream>using namespace cv;using namespace std;int main(int argc, char** argv){Mat src = imread("../image/source2.jpg");//读取原图像//分别在原图像和目标图像上定义三个点Point2f srcTri[3];Point2f dstTri[3];srcTri[0] = Point2f(0, 0);srcTri[1] = Point2f(src.cols - 1, 0);srcTri[2] = Point2f(0, src.rows - 1);dstTri[0] = Point2f(src.cols * 0.0, src.rows * 0.33);dstTri[1] = Point2f(src.cols * 0.85, src.rows * 0.25);dstTri[2] = Point2f(src.cols * 0.15, src.rows * 0.7);Mat dst;//目标图像//设置目标图像的大小和类型与原图像一致,初始像素值都为0dst = Mat::zeros(src.rows, src.cols, src.type());//计算仿射变换矩阵Mat trans_mat = getAffineTransform(srcTri, dstTri);//对原图像应用上面求得的仿射变换warpAffine(src, dst, trans_mat, src.size());//显示结果imshow("origin_image", src);imshow("dst_image", dst);//储存图像imwrite("dst1.jpg", dst);waitKey(0);return 0;}
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