精华 | 几种梯度下降方法对比【收藏】

2018 年 9 月 12 日 机器学习算法与Python学习

我们在训练神经网络模型时，最常用的就是梯度下降，这篇博客主要介绍下几种梯度下降的变种（mini-batch gradient descent和stochastic gradient descent），关于Batch gradient descent（批梯度下降，BGD）就不细说了（一次迭代训练所有样本），因为这个大家都很熟悉，通常接触梯队下降后用的都是这个。这里主要介绍Mini-batch gradient descent和stochastic gradient descent（SGD）以及对比下Batch gradient descent、mini-batch gradient descent和stochastic gradient descent的效果。

一、Batch gradient descent
Batch gradient descent 就是一次迭代训练所有样本，就这样不停的迭代。整个算法的框架可以表示为：

 1X = data_input
 2Y = labels
 3parameters = initialize_parameters(layers_dims)
 4for i in range(0, num_iterations): #num_iterations--迭代次数
 5    # Forward propagation
 6    a, caches = forward_propagation(X, parameters)
 7    # Compute cost.
 8    cost = compute_cost(a, Y)
 9    # Backward propagation.
10    grads = backward_propagation(a, caches, parameters)
11    # Update parameters.
12    parameters = update_parameters(parameters, grads)

Batch gradient descent的优点是理想状态下经过足够多的迭代后可以达到全局最优。但是缺点也很明显，就是如果你的数据集非常的大（现在很常见），根本没法全部塞到内存（显存）里，所以BGD对于小样本还行，大数据集就没法娱乐了。而且因为每次迭代都要计算全部的样本，所以对于大数据量会非常的慢。

二、stochastic gradient descent
为了加快收敛速度，并且解决大数据量无法一次性塞入内存（显存）的问题，stochastic gradient descent（SGD）就被提出来了，SGD的思想是每次只训练一个样本去更新参数。具体的实现代码如下：

 1X = data_input
 2Y = labels
 3permutation = list(np.random.permutation(m))
 4shuffled_X = X[:, permutation]
 5shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1, m))
 6for i in range(0, num_iterations):
 7    for j in range(0, m):  # 每次训练一个样本
 8        # Forward propagation
 9        AL,caches = forward_propagation(shuffled_X[:, j].reshape(-1,1), parameters)
10        # Compute cost
11        cost = compute_cost(AL, shuffled_Y[:, j].reshape(1,1))
12        # Backward propagation
13        grads = backward_propagation(AL, shuffled_Y[:,j].reshape(1,1), caches)
14        # Update parameters.
15        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate)

如果我们的数据集很大，比如几亿条数据，num_iterationsnum_iterations 基本上设置1，2，（10以内的就足够了）就可以。但是SGD也有缺点，因为每次只用一个样本来更新参数，会导致不稳定性大些(可以看下图（图片来自ng deep learning 课），每次更新的方向，不想batch gradient descent那样每次都朝着最优点的方向逼近，会在最优点附近震荡）。因为每次训练的都是随机的一个样本，会导致导致梯度的方向不会像BGD那样朝着最优点。

注意：代码中的随机把数据打乱很重要，因为这个随机性相当于引入了“噪音”，正是因为这个噪音，使得SGD可能会避免陷入局部最优解中。

下面来对比下SGD和BGD的代价函数随着迭代次数的变化图：

可以看到SGD的代价函数随着迭代次数是震荡式的下降的（因为每次用一个样本，有可能方向是背离最优点的）

三、Mini-batch gradient descent
mini-batch gradient descent 是batch gradient descent和stochastic gradient descent的折中方案，就是mini-batch gradient descent每次用一部分样本来更新参数，即 $b a t c h_s i z e$ 。因此，若 $b a t c h_s i z e = 1$ 则变成了SGD，若 $b a t c h_s i z e = m$ 则变成了batch gradient descent。 $b a t c h_s i z e$ 通常设置为2的幂次方，通常设置 $2 ， 4 ， 8 ， 16 ， 32 ， 64 ， 128 ， 256 ， 512$ （很少设置大于512）。因为设置成2的幂次方，更有利于GPU加速。现在深度学习中，基本上都是用 mini-batch gradient descent，（在深度学习中，很多直接把mini-batch gradient descent（a.k.a stochastic mini-batch gradient descent）简称为SGD，所以当你看到深度学习中的SGD，一般指的就是mini-batch gradient descent）。下面用几张图来展示下mini-batch gradient descent的原理（图片来自ng deep learning 课）：

下面直接给出mini-batch gradient descent的代码实现：
1.首先要把训练集分成多个batch

 1# GRADED FUNCTION: random_mini_batches
 2def random_mini_batches(X, Y, mini_batch_size = 64, seed = 0):
 3    """
 4    Creates a list of random minibatches from (X, Y)
 5    Arguments:
 6    X -- input data, of shape (input size, number of examples)
 7    Y -- true "label" vector (1 for blue dot / 0 for red dot), of shape (1, number of examples)
 8    mini_batch_size -- size of the mini-batches, integer
 9
10    Returns:
11    mini_batches -- list of synchronous (mini_batch_X, mini_batch_Y)
12    """
13    np.random.seed(seed)            # To make your "random" minibatches the same as ours
14    m = X.shape[1]                  # number of training examples
15    mini_batches = []
16
17    # Step 1: Shuffle (X, Y)
18    permutation = list(np.random.permutation(m))
19    shuffled_X = X[:, permutation]
20    shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))
21
22    # Step 2: Partition (shuffled_X, shuffled_Y). Minus the end case.
23    num_complete_minibatches = m//mini_batch_size # number of mini batches
24    for k in range(0, num_complete_minibatches):
25        mini_batch_X = shuffled_X[:, k * mini_batch_size: (k + 1) * mini_batch_size]
26        mini_batch_Y = shuffled_Y[:, k * mini_batch_size: (k + 1) * mini_batch_size]
27        mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
28        mini_batches.append(mini_batch)
29
30    # Handling the end case (last mini-batch < mini_batch_size)
31    if m % mini_batch_size != 0:
32        mini_batch_X = shuffled_X[:, num_complete_minibatches * mini_batch_size : m]
33        mini_batch_Y = shuffled_Y[:, num_complete_minibatches * mini_batch_size : m]
34        mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
35        mini_batches.append(mini_batch)
36
37    return mini_batches

2.下面是在model中使用mini-batch gradient descent 进行更新参数

 1seed = 0
 2for i in range(0, num_iterations):
 3    # Define the random minibatches. We increment the seed to reshuffle differently the dataset after each epoch
 4    seed = seed + 1
 5    minibatches = random_mini_batches(X, Y, mini_batch_size, seed)
 6    for minibatch in minibatches:
 7        # Select a minibatch
 8        (minibatch_X, minibatch_Y) = minibatch
 9        # Forward propagation
10        AL, caches = forward_propagation(minibatch_X, parameters)
11        # Compute cost
12        cost = compute_cost(AL, minibatch_Y)
13        # Backward propagation
14        grads = backward_propagation(AL, minibatch_Y, caches)
15        parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate)