面试整理:关于代价函数,正则化

2018 年 3 月 29 日 数据挖掘入门与实战

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:代价函数(有的地方也叫损失函数,Loss Function)在机器学习中的每一种算法中都很重要,因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程,代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度,防止过拟合时添加的正则化项也是加在代价函数后面的。在学习相关算法的过程中,对代价函数的理解也在不断的加深,在此做一个小结。

 

1. 什么是代价函数?


假设有训练样本(x, y),模型为h,参数为θ。h(θ) = θTx(θT表示θ的转置)。

(1)概况来讲,任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ),如果有多个样本,则可以将所有代价函数的取值求均值,记做J(θ)。因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质:

  • 对于每种算法来说,代价函数不是唯一的;

  • 代价函数是参数θ的函数;

  • 总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏,代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, y);

  • J(θ)是一个标量;

(2)当我们确定了模型h,后面做的所有事情就是训练模型的参数θ。那么什么时候模型的训练才能结束呢?这时候也涉及到代价函数,由于代价函数是用来衡量模型好坏的,我们的目标当然是得到最好的模型(也就是最符合训练样本(x, y)的模型)。因此训练参数的过程就是不断改变θ,从而得到更小的J(θ)的过程。理想情况下,当我们取到代价函数J的最小值时,就得到了最优的参数θ,记为:


例如,J(θ) = 0,表示我们的模型完美的拟合了观察的数据,没有任何误差。

(3)在优化参数θ的过程中,最常用的方法是梯度下降,这里的梯度就是代价函数J(θ)对θ1, θ2, ..., θn的偏导数。由于需要求偏导,我们可以得到另一个关于代价函数的性质:

  • 选择代价函数时,最好挑选对参数θ可微的函数(全微分存在,偏导数一定存在)

 

2. 代价函数的常见形式


经过上面的描述,一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求:能够评价模型的准确性,对参数θ可微。 

 

2.1 均方误差

在线性回归中,最常用的是均方误差(Mean squared error),具体形式为:

m:训练样本的个数;

hθ(x):用参数θ和x预测出来的y值;

y:原训练样本中的y值,也就是标准答案

上角标(i):第i个样本

 

2.2 交叉熵

在逻辑回归中,最常用的是代价函数是交叉熵(Cross Entropy),交叉熵是一个常见的代价函数,在神经网络中也会用到。下面是《神经网络与深度学习》一书对交叉熵的解释:

交叉熵是对「出乎意料」(译者注:原文使用suprise)的度量。神经元的目标是去计算函数y, 且y=y(x)。但是我们让它取而代之计算函数a, 且a=a(x)。假设我们把a当作y等于1的概率,1−a是y等于0的概率。那么,交叉熵衡量的是我们在知道y的真实值时的平均「出乎意料」程度。当输出是我们期望的值,我们的「出乎意料」程度比较低;当输出不是我们期望的,我们的「出乎意料」程度就比较高。

 

在1948年,克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵,引入到信息论,因此它又被称为香农熵(Shannon Entropy),它是香农信息量(Shannon Information Content, SIC)的期望。香农信息量用来度量不确定性的大小:一个事件的香农信息量等于0,表示该事件的发生不会给我们提供任何新的信息,例如确定性的事件,发生的概率是1,发生了也不会引起任何惊讶;当不可能事件发生时,香农信息量为无穷大,这表示给我们提供了无穷多的新信息,并且使我们无限的惊讶。


符号说明同上 

 

2.3 神经网络中的代价函数

学习过神经网络后,发现逻辑回归其实是神经网络的一种特例(没有隐藏层的神经网络)。因此神经网络中的代价函数与逻辑回归中的代价函数非常相似:


这里之所以多了一层求和项,是因为神经网络的输出一般都不是单一的值,K表示在多分类中的类型数。

例如在数字识别中,K=10,表示分了10类。此时对于某一个样本来说,输出的结果如下:

  1.1266e-004
  1.7413e-003
  2.5270e-003
  1.8403e-005
  9.3626e-003
  3.9927e-003
  5.5152e-003
  4.0147e-004
  6.4807e-003
  9.9573e-001

一个10维的列向量,预测的结果表示输入的数字是0~9中的某一个的概率,概率最大的就被当做是预测结果。例如上面的预测结果是9。理想情况下的预测结果应该如下(9的概率是1,其他都是0):

   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   1

比较预测结果和理想情况下的结果,可以看到这两个向量的对应元素之间都存在差异,共有10组,这里的10就表示代价函数里的K,相当于把每一种类型的差异都累加起来了。

 

3. 代价函数与参数


代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异,所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数,即J=f(h(θ), y)。又因为y都是训练样本中给定的,h(θ)由θ决定,所以,最终还是模型参数θ的改变导致了J的改变。对于不同的θ,对应不同的预测值h(θ),也就对应着不同的代价函数J的取值。变化过程为: