在德国寻访数学之王高斯的遗迹

2018 年 1 月 5 日 算法与数学之美 高关中

记得小时候，阅读《十万个为什么》这类科普读物，对一个数学故事记忆特深，至今难忘。故事说的是：一天，老师给学生们布置一道课堂作业：“1加2、加3、加4，一直加到100，总数是多少？”学生们开始一个数、一个数去加。一两分钟后，正当大家还在紧张地计算时，有个学生已经报出答案是5050。老师惊奇地问他，为什么算得这样快。这位学生从容不迫地回答：“1+100是101，2+99是101，3+98也是101，一共有50对这样的数，所以总数是101乘以50，就是5050。”“算得太妙了！”老师受到了震动，自言自语地说，“可是我从来没有教过他们呀。”这个数学小神童就是高斯（Karl-friedrich Gauß），他运用的正是算术级数的求和公式。

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后来在大学的数学课里，我又学到了高斯分布（概率论中的钟形曲线，正态分布为其典型）、高斯函数、高斯积分等等，这些都是以高斯命名的数学内容。虽然我后来改行计算机软件和企管，并未从事数学专业，但对这位世界级大师一直敬佩有加，何况他也姓高（开个玩笑）。

德国中北部的格廷根（Göttingen）是著名的大学城。在德国，格廷根和海德堡相当于英国的剑桥和牛津，早就知道高斯曾长期在格廷根任教，所以这次一到格廷根，我就到处寻找与高斯有关的遗迹。还真让我找到几处。市南城墙外草地上竖立着高斯一韦伯（Wilhelm Eduard Weber，1804－1891）纪念碑。这两位科学家一坐一站，似乎正在讨论那千古不朽的电磁现象。他们共同开创了电磁理论，1833年发明电磁电报。老城内河渠旁的米歇埃利楼（Michaelishaus）是他们做物理实验的地方，后来物理学家普朗特（Ludwig Prandtl，1875－1953）在此研究飞机升空的理论，被誉为“空气动力学之父”，他最出色的弟子叫冯·卡门（Theodore von Kármán，1881－1963），任教加州理工，是我国导弹之父钱学森（1911-2009）的导师。哎，扯远了，回过头继续说。市东南郊的天文台（Sternwarte）是高斯工作过的地方。他担任教授和天文台长期间，格廷根曾是数学世界的“麦加”圣地。格廷根大学以高斯而骄傲。城北距新校区不远的格大老教学楼（Auditorium Maximum）的正立面，塑有四位建校恩公的塑像和九位最著名教授的头像，高斯赫然位列其中，头像就在右翼上侧的中央。格廷根还有高斯路（Gaußstraße，新市政厅南侧），甚至以高斯命名的酒馆。在西南郊10公里的德兰斯费尔德（Dransfeld）建有高斯博物馆（Gauß-Museum）。

其实高斯并不是在格廷根出生的。他的家乡是格廷根东北100多公里的不伦瑞克（Braunschweig）。高斯出生于1777年4月30日，家世普通，父亲为园丁兼泥水匠，有时忙不过来，会雇些帮工。幼年时高斯就显示出了数学方面的非凡才华，曾纠正其父计算工资的错误。少年高斯的聪颖早慧使他得到不伦瑞克公爵的垂青。公爵资助他读完卡特林文法高中（Gymnasium Catharineum），进入卡洛林学院（Collegium Carolinum）学习，1795年继而又送他入格廷根大学深造。

格廷根大学的第一年，19岁的高斯就用代数方法解决了两千多年来对正几边形用直尺和圆规几何作图的世界性难题。他用尺规做出了正17边形，这是他一生的骄傲。他还同时给出了单用直尺和圆规根本不可能做出正7边形、正9边形、正11边形、正13边形和正14边形的证明。1799年高斯把证明代数基本定理（关于多项式根的定理）的论文寄给黑尔姆施泰特大学（Helmstedt，在不伦瑞克以东40公里）的数学教授，未到校求学，就直接获得了博士学位。1801年他发表了第一部科学论著《算术研究》（Disquisitiones arithmeticae），立即在国际数学界声名鹊起。《算术研究》是数学史上为数不多的经典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代。

聪明勤奋加上好运（洪堡等人的推荐），高斯30岁就成为格廷根大学数学教授，并兼任刚建成的格廷根天文台台长。此前，他已被选为英国皇家学会会员。他还是法国科学院和其他许多科学院的院士。在天文台的工作激发了他在应用数学和天文学方面的兴趣，这也是发挥数学才能的良好平台。高斯在格大一直工作到去世。

48年的平稳生活，使高斯无衣食之忧，充分地发挥了自己的数学才能，对数学做出了辉煌的贡献。他的工作影响了数学和数学物理的几乎每一个领域。

高斯对超几何级数、数论、代数学、复变函数、概率统计、椭圆函数论都有重大的贡献。他的曲面论是近代微分几何的开端。其曲面理论后来被他的学生黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866，也在格廷根学习并任教）所发展，成为爱因斯坦广义相对论的数学基础。高斯建立了最小二乘法，并发表了3部相关的著作。他于1818年就提出了非欧几里得几何可能性的思想，虽然生前未发表，但实际上他是非欧几何的创始人之一。此外，他对向量分析，关于正态分布的正规曲线、质数定理的演算等的研究也取得了成果。

在天文学方面，高斯创立了一种可以计算行星椭圆轨道的方法，能准确地预测出行星的位置。对物理学和大地测量学也有深刻的研究。

高斯搞研究立论极端谨慎，“少些，但是要成熟”，是他的原则。这使得他生前发表的作品，比起他一生中所做的大量研究来说相对地要少得多。他去世后，弟子们整理出版的高斯全集竟有12卷之多。

高斯的工作改变了整个数学的面貌。世人公认他和阿基米德（他算出球体体积是圆柱的三分之二）和牛顿（发明微积分）并列，是人类历史上三个最伟大的数学家之一，有人赞誉他为数学之王。德国10马克纸币上就印着他的头像，背面是高斯工作用的仪器。当年几乎天天用这样的票子，可惜2002年德国改用欧元后，这一马克纸币就退出了流通。

高斯1855年2月23日在格廷根逝世，他的墓就在老城东南城墙外，墓地位于一个公园中，附近有小池塘，距多功能的格廷根市厅（Stadthalle）不远。墓碑耸立于绿蔓之上，适度装饰雕刻中镶嵌着高斯的侧面铜像。数学奇才高斯就安息在这里，与他工作终身的小城永远在一起。他的名言“数学，科学的皇后”永远为人们所牢记。

作者高关中（德国汉堡）2017/10/15