逆优化: 理论与应用

摘要

逆优化描述了一个过程，是“反向”的传统数学优化。与传统优化不同的是，逆优化在给定目标和约束条件下寻求计算最优决策，而逆优化将决策作为输入，确定一个目标和/或约束条件，使这些决策近似或准确地达到最优。近年来，人们对逆优化的数学和应用产生了极大的兴趣。本文对逆优化的方法和应用方面的文献进行了全面的综述。

近年来，人们对逆优化的数学和应用产生了极大的兴趣。在传统的数学优化中，以目标和约束作为输入来生成最优决策。在逆优化中，决策是作为输入给出的，目标和/或约束是输出。具体地说，逆优化的目标是确定优化模型的参数，即“正演”模型，使一组决策相对于正演模型近似或确切地最优。求解这组参数本身就是一个优化模型，称为“逆”模型。逆优化已经在交通、医疗、电力系统、金融和经济等领域得到了广泛的应用。在每个领域，我们观察决策的数据集，并估计最能再现这些观察结果的决策模型。决策数据可以包括个人路由选择、用电模式、投资决策或医疗治疗。逆向优化模型可用于估计与观测决策最一致的路径选择偏好、效用函数、投资风险偏好或临床治疗目标。在这里，逆优化提供了一个数学框架来估计决策问题中的潜在参数和主观偏好。

逆优化问题的易处理性取决于前向模型的复杂性和逆模型的期望性质。不同的应用需要不同的建模假设，导致许多不同的逆模型和求解方法。尽管如此，在文献中出现的所有模型都可以大致描述为沿着以下三个主要维度的元素组合:

前向问题结构: 该维度描述前向模型的结构。可能性包括线性、圆锥、凸或离散优化模型。序列决策模型(例如，马尔可夫决策过程)也是可能的。

参数类型: 要估计的参数可能存在于目标、约束或两者中。反优化问题的结构和可操作性在很大程度上取决于所估计的参数和正问题的结构。

模型-数据拟合: 根据应用，可能需要在前向模型的估计参数和决策之间实现“完美拟合”，即寻找参数，使决策是最优的。在没有必要或不可能这样做的问题中，反问题的目标可能是最大化合适的适应度。

图1总结了我们分类法的三个维度。反优化问题的设计通常考虑上述顺序中的每一个维度。由于前两个维度的处理在第三个维度中相对相似，我们特别指定了经典逆优化和数据驱动逆优化的标签，以区分假设模型数据完美拟合的模型和假设模型数据不完美的模型。在反优化问题的早期文献中占主导地位的经典问题，经常被用来引入反问题的重构技术。在需要在正向模型中找到参数以使决策最优的应用中，这些模型也是相关的。另一方面，数据驱动模型借鉴了经典模型中所采用的技术和方法，但也考虑了模型-数据不完全拟合的可能性所带来的额外的复杂性。当决策数据中存在模型错误或噪声观测时，这些模型是相关的。该文献通过与各种次最优度量相对应的损失函数来区分。

在本文中，我们提供了(i)一个描述和分类逆优化模型的系统框架，(ii)对方法学和应用方向的文献进行了全面的综述。我们首先回顾使用上述分类法的所有现有逆向模型的不同技术、求解方法和模型属性。然后我们巩固了越来越多地应用逆优化的应用领域的广泛列表。据我们所知，之前关于逆优化的研究只有一次，这可以追溯到近20年前[89]。本文对0-1组合前向问题的选择经典逆模型进行了理论综述，这是早期反优化研究的重点。从那时起，我们观察到新的模型、方法和应用的广度，其中许多特定于数据驱动的文献。因此，我们的综述涵盖了适用于广泛类别的问题结构的技术，考虑了特定于数据驱动模型的新发展，并检查了现代应用的广泛列表。

最后，我们简要地指出，逆优化也属于“逆问题”的范畴，这类问题广泛地描述了关于过程“效应”的观测数据被用来估计产生这些结果的不可观测的“原因”的问题[140]。在医学成像[27]、地球物理学[137]、光学[119]、声学[59]和机器学习[52]等领域，反演问题得到了广泛的研究。逆优化与其他逆问题的区别在于，这里的过程是一个通过数学规划建模的决策问题，而数据则是这些问题的解。因此，反优化的方法和应用与其他更广泛的文献有显著的不同。