《多目标响应面可取性函数最优点评价的统计推断》2022最新295页博士论文【含代码】，美国空军技术学院

Derringer和Suich（1980）可取性函数的一个不足之处是缺乏量化不确定性的推理方法。大多数解决不确定性的文章通常涉及稳健的方法，提供一个受变异影响较小的点估计。很少有文章涉及置信区间，但不是专门针对Derringer和Suich方法。这项研究为响应面方法学领域提供了两个宝贵的贡献。第一个贡献是评估了相关性和平面角对Derringer和Suich最优解的影响。第二个贡献是提出并比较了8种推理方法--包括单变量和多变量--用于为一阶和二阶模型的每个可取性函数解创建置信区间。通过模拟研究了Derringer和Suich方法参数、目标面角度和响应面之间不同的相关性的影响。提出的8种方法包括一种简单的最佳/最坏情况方法、2种通用方法、4种模拟表面方法和一种非参数引导法。其中一种广义方法、两种模拟面方法和非参数方法考虑了响应面之间的协方差。双变量的例子展示了这些方法在一阶和二阶模型中的应用。还研究了一个具有3个目标的多变量实际案例。虽然所有7种新方法和最佳/最差方法在二阶模型中的表现都很好。利用底层多变量t分布的方法，即多变量广义（MG）和多变量t模拟面（MVtSSig），是本研究推荐的方法，因为它们在一阶和二阶模型的小样本中表现良好，只有在非最优解时覆盖率才变得不可靠。MG和MVtSSig推断应与帕累托前沿优化等稳健方法结合使用，以帮助在构建置信区间之前确定哪些解决方案更可能是最优的。

统计分析的一个重要因素是为决策者提供做出明智决策的能力。这些决策发生在不确定的情况下，由于测量误差、采样技术和其他潜在的未知误差源，与给定问题有关的信息不能保证完全准确。响应面方法（RSM）是通过产品或过程优化进行决策。它建立在实验设计（DOE）、线性模型和优化技术之上，以建立近似于现实世界目标函数的模型。当两个或更多的目标出现时，很少有机会能同时完全优化它们。为了确定最优值，必须进行权衡，其中可以纳入一些主观因素，以找到一个对所有目标都有利的解决方案。多目标RSM（MORSM）扩展到当两个或更多竞争的，或相关的目标存在时的优化。MORSM包括一些解决竞争目标的技术，如叠加等高线图、限制性优化、帕累托前沿和可取性函数。

可取性函数（DF）是本研究的核心重点。具体来说，探索了Derringer和Suich方法来计算可取性最优值，因为比例函数的形状很灵活，在文献中经常使用[1]。目前在不确定情况下的决策解决方案，因为它与可取性函数和RSM有关，主要集中在稳健的解决方案而不是推理。有一些关于推断可取性函数的文献；然而，他们使用的可取性函数与Derringer和Suich方法的比例不同，并且/或者需要大样本[2, 3]。由于Derringer和Suich方法缺乏适当的推理方法，可取性函数的最优解通常被报告为一个点估计值。报告一个点估计值限制了决策者可用的信息量，不确定性最好能以某种方式进行量化。对文献的回顾表明，目前还没有严格适合Derringer和Suich方法的推断方法。现在偶尔使用的推断方法提供了一个保守的区间，因为它使用了基于置信区间或预测区间的最佳和最坏情况区间，但它也假设了目标的独立性。这种假设可能是有问题的，因为它没有适当地考虑到反应之间的不确定性。虽然最佳和最坏情况区间在经验上似乎是保守的，但由于它们受到反应之间相关性的影响，其覆盖范围并不总是有保证，它可能无法提供100-（1-α）%的置信区间。决策者将受益于可取性函数的适当推断方法，以确保解决方案和备用行动方案对潜在的错误是稳健的。

本论文对响应面方法学领域有两个主要贡献。第一个贡献是评估相关性和平面角度对Derringer和Suich可取性函数最佳解决方案推断的影响，以表明独立性假设是不正确的。第二个贡献是提出了8种围绕一阶和二阶模型的最优可取性指数构建置信区间（CI）的方法。所用的第一种方法已经在文献中使用，根据线性回归置信区间的最佳和最坏情况值构建初级的置信区间。其中有七种方法对于这个应用来说是新颖的，是基于第2.6节中讨论的广义方法和自举技术。所关注的指标是覆盖概率（CP），平均宽度（AW），以及每种方法的区间对称性。本研究考虑了单变量（忽略相关性）和多变量（表征相关性结构）方法，以实现使用Derringer和Suich可取性最优解的最佳点上的CIs的100-（1-α）%覆盖率。一阶和二阶模型都得到了利用。一阶模型用于确定平面之间的角度是否对所关注的指标有影响。二阶模型用于确定Derringer和Suich方法的参数设置是否对感兴趣的度量有影响，并捕捉到用于真实世界的数据集。

下面几章的组织结构如下。第2章对文献进行了回顾，以解决使用哪些线性模型、研究的设计实验、可取性函数结构、提出的推理方法的一些理论以及考虑的多变量分布。第3章推导出本研究的整体方法，包括推理方法的推导、考虑的问题集和模拟研究。第四章回顾了第3章中讨论的所有情景和推理方法的结果。第5章是论文的结尾，简明扼要地解释了哪些推理方法是值得推荐的，以及未来研究的步骤。