We give the first nearly linear time algorithm to approximately sample satisfying assignments in the random $k$-SAT model when the density of the formula scales exponentially with $k$. The best previously known sampling algorithm for the random $k$-SAT model applies when the density $\alpha=m/n$ of the formula is less than $2^{k/300}$ and runs in time $n^{\exp(\Theta(k))}$ (Galanis, Goldberg, Guo and Yang, SIAM J. Comput., 2021). Here $n$ is the number of variables and $m$ is the number of clauses. Our algorithm achieves a significantly faster running time of $n^{1 + o_k(1)}$ and samples satisfying assignments up to density $\alpha\leq 2^{rk}$ for $r = 0.1402$. The main challenge in our setting is the presence of many variables with unbounded degree, which causes significant correlations within the formula and impedes the application of relevant Markov chain methods from the bounded-degree setting (Feng, Guo, Yin and Zhang, J. ACM, 2021; Jain, Pham and Vuong, 2021). Our main technical contribution is a novel approach to bound the sum of influences in the $k$-SAT model which turns out to be robust against the presence of high-degree variables. This allows us to apply the spectral independence framework and obtain fast mixing results of a uniform-block Glauber dynamics on a carefully selected subset of the variables. The final key ingredient in our method is to take advantage of the sparsity of logarithmic-sized connected sets and the expansion properties of the random formula, and establish relevant properties of the set of satisfying assignments that enable the fast simulation of this Glauber dynamics.


翻译:我们给出第一个近线性时间算法, 以大约抽样方式在随机 $k$-SAT 模型中完成任务。 当公式比例的密度以美元指数指数指数指数成倍增长时, 这里的美元是第一个近似线性时间算法, 当公式的密度以美元指数指数指数指数成倍增长时, 我们给随机的公式模型, Goldberg, Guo (k) 和 Yang, SIAM J. Compuut., 2021美元。 当公式指数指数指数指数指数指数指数指数的变异性化时, 这里的变量数是变量数, 条款数是条款数量数。 我们的计算算法在运行时, 美元1美元+美元+ o_k(1)美元, 最已知的基数的取样算法将运行时间大大加快。

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