A weak dominance drawing $\Gamma$ of a DAG $G=(V,E)$, is a $d$-dimensional drawing such that there is a directed path from a vertex $u$ to a vertex $v$ in $G$ if $D(u) <D(v)$ for every dimension $D$ of $\Gamma$. We have a \emph{falsely implied path (fip)} when $D(u) < D(v)$ for every dimension $D$ of~$\Gamma$, but there is no path from $u$ to $v$. Minimizing the number of fips is an important theoretical and practical problem, which is NP-hard. We show that it is an FPT~problem for parameter $k$, where $k$ is the maximum degree of a vertex of the \emph{modular~decomposition~tree} of~$G$. Namely, for any constant $d$, we present an $O(nm+ndk^2(k!)^d)$ time algorithm to compute a weak $d$-dimensional dominance drawing $\Gamma$ of a DAG $G$ having the minimum number of fips. An interesting implication of this result is that we can decide if a DAG has dominance dimension~$3$ (a well-known NP-complete problem) in time $O(nm+nk^2(k!)^3)$.
翻译:以 DAG $G=( V, E) 美元 来绘制一个微弱的支配值 $\ gamma $, 美元, 是一个维度的图解, 如果每个维度$( u) < D( 5) $( 5) 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 维度的图解是一条直接路径, 如果每个维度$D( u) < D( 5) $), 顶点从顶点从顶点美元到顶点美元, 折点数从一个重要的理论和实际问题, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 。 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 。