In this paper we focus on modules over a finite chain ring $\mathcal{R}$ of size $q^s$. We compute the density of free modules of $\mathcal{R}^n$, where we separately treat the asymptotics in $n,q$ and $s$. In particular, we focus on two cases: one where we fix the type of the module and one where we fix the rank of the module. In both cases, the density results can be bounded by the Andrews-Gordon identities. We also study the asymptotic behaviour of modules generated by random matrices over $\mathcal{R}$. Since linear codes over $\mathcal{R}$ are submodules of $\mathcal{R}^n$ we get direct implications for coding theory. For example, we show that random codes achieve the Gilbert-Varshamov bound with high probability.
翻译:在本文中, 我们关注一个限定链环上的模块 $\ mathcal{R} $q $。 我们计算了$\ mathcal{R}$ 的免费模块的密度。 我们分别用美元、 q$ $ 和$ $ 来处理无症状的模块。 特别是, 我们关注两个案例: 一个我们固定模块的类型, 一个我们固定模块的级别。 在这两个案例中, 密度结果可以受 Andrews- Gordon 身份的约束。 我们还研究 由 $\ mathcal{R} $ 生成的随机矩阵生成的模块的不适应行为。 因为 $\ mathcal{R} $ 以上的线性代码是 $\ mathcal{R} $ 的子模块, 我们对编码理论有直接的影响 。 例如, 我们显示随机代码能以高概率实现 Gilbert- Varshamov 约束 。