Satisfiability of boolean formulae (SAT) has been a topic of research in logic and computer science for a long time. In this paper we are interested in understanding the structure of satisfiable and unsatisfiable sentences. In previous work we initiated a new approach to SAT by formulating a mapping from propositional logic sentences to graphs, allowing us to find structural obstructions to 2SAT (clauses with exactly 2 literals) in terms of graphs. Here we generalize these ideas to multi-hypergraphs in which the edges can have more than 2 vertices and can have multiplicity. This is needed for understanding the structure of SAT for sentences made of clauses with 3 or more literals (3SAT), which is a building block of NP-completeness theory. We introduce a decision problem that we call GraphSAT, as a first step towards a structural view of SAT. Each propositional logic sentence can be mapped to a multi-hypergraph by associating each variable with a vertex (ignoring the negations) and each clause with a hyperedge. Such a graph then becomes a representative of a collection of possible sentences and we can then formulate the notion of satisfiability of such a graph. With this coarse representation of classes of sentences one can then investigate structural obstructions to SAT. To make the problem tractable, we prove a local graph rewriting theorem which allows us to simplify the neighborhood of a vertex without knowing the rest of the graph. We use this to deduce several reduction rules, allowing us to modify a graph without changing its satisfiability status which can then be used in a program to simplify graphs. We study a subclass of 3SAT by examining sentences living on triangulations of surfaces and show that for any compact surface there exists a triangulation that can support unsatisfiable sentences, giving specific examples of such triangulations for various surfaces.


翻译:布林公式的可满足性长期以来一直是逻辑和计算机科学研究的主题。 在本文中,我们有兴趣了解可讽刺和不满意的句子结构。 在先前的工作中,我们启动了一个新的SAT方法,从推理逻辑句子到图形,绘制图解图的图解图解图,从而找到2SAT(精确为2字)的结构性障碍。这里我们将这些想法概括为多频谱学,其中边缘可以有2个顶端,可以有多重性。在本文中,我们有兴趣了解沙特卫星对3个或3个以上字句的句子结构结构结构结构结构结构结构结构结构。我们引入了一个决定问题,我们称之为GreaSAT,作为向SAT结构视图图解析的第一个步骤。我们每个建议逻辑句子都可以通过将每个变量与直径直线(直线)联系起来,然后将每个段落与直径直径直径直值联系起来,然后用直径直的直径直判的句子结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构结构,这样可以用来进行一个更精确的图,然后通过直径直观的图来显示一个数字的图,然后我们可以显示一个直径直径解的图,然后可以显示一个数字的图,我们可以显示一个数字的直判点的图,然后可以显示一个直判变。这样的一个图表,一个图表,然后用一个图表可以显示一个数字的直的直的直判分。

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