We propose the first near-optimal quantum algorithm for estimating in Euclidean norm the mean of a vector-valued random variable with finite mean and covariance. Our result aims at extending the theory of multivariate sub-Gaussian estimators to the quantum setting. Unlike classically, where any univariate estimator can be turned into a multivariate estimator with at most a logarithmic overhead in the dimension, no similar result can be proved in the quantum setting. Indeed, Heinrich ruled out the existence of a quantum advantage for the mean estimation problem when the sample complexity is smaller than the dimension. Our main result is to show that, outside this low-precision regime, there is a quantum estimator that outperforms any classical estimator. Our approach is substantially more involved than in the univariate setting, where most quantum estimators rely only on phase estimation. We exploit a variety of additional algorithmic techniques such as amplitude amplification, the Bernstein-Vazirani algorithm, and quantum singular value transformation. Our analysis also uses concentration inequalities for multivariate truncated statistics. We develop our quantum estimators in two different input models that showed up in the literature before. The first one provides coherent access to the binary representation of the random variable and it encompasses the classical setting. In the second model, the random variable is directly encoded into the phases of quantum registers. This model arises naturally in many quantum algorithms but it is often incomparable to having classical samples. We adapt our techniques to these two settings and we show that the second model is strictly weaker for solving the mean estimation problem. Finally, we describe several applications of our algorithms, notably in measuring the expectation values of commuting observables and in the field of machine learning.


翻译:我们建议了第一个接近最佳量子算法, 用于在 Euclidean 规范中估算矢量估值随机变量的平均值, 其平均值为有限平均值和共差。 我们的结果是将多变的 sublo- Gausian 估量器的理论扩展至量子设置。 与典型不同, 任何单流估量器都可以转换为多变估量器, 其尺寸最多为对数值的偏差, 在量子设置中无法证明类似的结果。 事实上, Heinrich 排除了在样本复杂度小于尺寸时, 对平均估算问题存在量值的量子优势。 我们的主要结果是, 在低精确度制度之外, 将多变量估算值估算器的理论扩展到量子值 。 我们的分析还利用了量级算法的量级算法, 将两种变量的数值的数值排序结果显示为: 我们的数值序列中, 数字估量值的模型显示的是多变数输入, 大多数估量测器仅依赖于阶段估量值的模型。 我们的模型利用了多种变数的模型, 。 我们的变数的变数的变数的数值和变数的变数的变数的数值判的数值判法, 。

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