The multiplicity Schwartz-Zippel lemma asserts that over a field, a low-degree polynomial cannot vanish with high multiplicity very often on a sufficiently large product set. Since its discovery in a work of Dvir, Kopparty, Saraf and Sudan [SIAM J. Comput., 2013], the lemma has found numerous applications in both math and computer science; in particular, in the definition and properties of multiplicity codes by Kopparty, Saraf and Yekhanin [J. ACM, 2014]. In this work, we show how to algorithmize the multiplicity Schwartz-Zippel lemma for arbitrary product sets over any field. In other words, we give an efficient algorithm for unique decoding of multivariate multiplicity codes from half their minimum distance on arbitrary product sets over all fields. Previously, such an algorithm was known either when the underlying product set had a nice algebraic structure: for instance, was a subfield (by Kopparty [ToC, 2015]) or when the underlying field had large (or zero) characteristic, the multiplicity parameter was sufficiently large and the multiplicity code had distance bounded away from $1$ (Bhandari, Harsha, Kumar and Sudan [STOC 2021]). In particular, even unique decoding of bivariate multiplicity codes with multiplicity two from half their minimum distance was not known over arbitrary product sets over any field. Our algorithm builds upon a result of Kim and Kopparty [ToC, 2017] who gave an algorithmic version of the Schwartz-Zippel lemma (without multiplicities) or equivalently, an efficient algorithm for unique decoding of Reed-Muller codes over arbitrary product sets. We introduce a refined notion of distance based on the multiplicity Schwartz-Zippel lemma and design a unique decoding algorithm for this distance measure. On the way, we give an alternate analysis of Forney's classical generalized minimum distance decoder that might be of independent interest.


翻译:多重Schwartz- Zippel lemma 声称, 在一个字段中, 一个低度的多式运算无法随着高度的多重性而消失, 在足够大的产品组中经常出现。 自从它在Dvir、 Kopstate、 Saraf 和苏丹[SIAM J. comput., 2013] 的作品中发现以来, 狐emma在数学和计算机科学中都发现了许多应用; 特别是在由 Kopparty、 Saraf 和 Yekhanin [J. ACM, 2014] 的多重性代码的定义和属性方面。 在这项工作中, 我们展示了如何将多重性Schwartz- Zippel Lemma 的多级运算算算法进行算法化。 换句话说, 在任意性产品组的半数距离中,我们给出了一个独特的多变异性多重性代码的算法, 在Schal- reco Z 上, 任何一种特殊的直立的直径( Ormal dicional dical diversal diversal diversal del dide) ex ex ex ex ex, del lade a ex, lax a ex, lacidududududududuce, ex, maciduce, ex ex, ex, ex, lex ex ex a lex mso, ex, lex lex lex le, lex a latime, latime, le, le, lece, ex, lex ex, lex lex, lex lex lex la, laut, le, la, lex la, laut, la, la, laut, la, la, lex lax lax laut, lax lax lax lax lax le, ro, le, le, le, le, le, le, le, lacal lax lax la, lax lax le, la,

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