We investigate a linearised Calder\'on problem in a two-dimensional bounded simply connected $C^{1,\alpha}$ domain $\Omega$. After extending the linearised problem for $L^2(\Omega)$ perturbations, we orthogonally decompose $L^2(\Omega) = \oplus_{k=0}^\infty \mathcal{H}_k$ and prove Lipschitz stability on each of the infinite-dimensional $\mathcal{H}_k$ subspaces. In particular, $\mathcal{H}_0$ is the space of square-integrable harmonic perturbations. This appears to be the first Lipschitz stability result for infinite-dimensional spaces of perturbations in the context of the (linearised) Calder\'on problem. Previous optimal estimates with respect to the operator norm of the data map have been of the logarithmic-type in infinite-dimensional settings. The remarkable improvement is enabled by using the Hilbert-Schmidt norm for the Neumann-to-Dirichlet boundary map and its Fr\'echet derivative with respect to the conductivity coefficient. We also derive a direct reconstruction method that inductively yields the orthogonal projections of a general $L^2(\Omega)$ perturbation onto the $\mathcal{H}_k$ spaces. If the perturbation is in the subspace $\oplus_{k=0}^K \mathcal{H}_k$, then the reconstruction method only requires data corresponding to $2K+2$ specific Neumann boundary values.
翻译:我们在一个简单连接 $C\\ 1,\\ alpha} 域 $Omega 的二维范围内调查一个线性卡尔德 问题。 在延长了 $L2\\\ Omega) 的线性问题后, 我们或thogon 将 $L22(\\ Omega) 折腾 = $L2(\\\ Omega) = 0. lnfty\ mathcal{H\ k$ 证明无限空间中的每个 $( mathcal) 的利普西茨 的稳定性。 特别是 $\ mak 域 $( mark) 域 $( h) $( g) 。 $( $) 美元( $( g) $( g) ) 的内空域( ) 内空域( ) 内空域( ) 内空域( ) ) 内空域( ) 内空域( ) 内空域( 内空) 内 内 内 内 内 内 内 内 内 内 内 ) 内 内 的内 ) 的内 内 内 的内 的内 ) 的内 的内 的内 的内, 的内, 的内, 内 内 内 内, 内,, 内, 内 内,, 内, 内 内 的,, 内 的, 内, 的, 的 的 内 内 内 内 内 内 的,, 的,,,,,,, 的,,, 内,,,,,,, 的 直,,, 内,, 内 内,, 内 内,,,,,, 内 内 内 内 内 内 内 内 内,,,, 内 内 内 内,