For a bilinear map $*:\mathbb R^d\times \mathbb R^d\to \mathbb R^d$ of nonnegative coefficients and a vector $s\in \mathbb R^d$ of positive entries, among an exponentially number of ways combining $n$ instances of $s$ using $n-1$ applications of $*$ for a given $n$, we are interested in the largest entry over all the resulting vectors. An asymptotic behavior is that the $n$-th root of this largest entry converges to a growth rate $\lambda$ when $n$ tends to infinity. In this paper, we prove the existence of this limit by a special structure called linear pattern. We also pose a question on the possibility of a relation between the structure and whether $\lambda$ is algebraic.


翻译:对于双线形地图 $ * :\mathbb R ⁇ d\time \ mathbb R ⁇ d\ to\ mathbb 非负系数和正条目的矢量 $\ mathb R ⁇ d$ 和正条目中的矢量 $s@mathbb R ⁇ d$ 等指数数,其中将使用美元- 1美元申请给给定美元的情况合并为美元- 1美元,我们感兴趣的是所有由此产生的矢量的最大条目。 一种不现行为是, 当美元趋于无限时, 这个最大条目的十元根会汇合到一个 $\ lambda$ 的增长率 $\ lambda$ 。 在本文中, 我们证明这个称为线性模式的特殊结构存在这一限制。 我们还提出了一个问题, 结构之间是否可能存在某种关系, 以及 $\lambda$是否具有代数关系 。

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