Leroux has proved that unreachability in Petri nets can be witnessed by a Presburger separator, i.e. if a marking $\vec{m}_\text{src}$ cannot reach a marking $\vec{m}_\text{tgt}$, then there is a formula $\varphi$ of Presburger arithmetic such that: $\varphi(\vec{m}_\text{src})$ holds; $\varphi$ is forward invariant, i.e., $\varphi(\vec{m})$ and $\vec{m} \rightarrow \vec{m}'$ imply $\varphi(\vec{m}'$); and $\neg \varphi(\vec{m}_\text{tgt})$ holds. While these separators could be used as explanations and as formal certificates of unreachability, this has not yet been the case due to their (super-)Ackermannian worst-case size and the (super-)exponential complexity of checking that a formula is a separator. We show that, in continuous Petri nets, these two problems can be overcome. We introduce locally closed separators, and prove that: (a) unreachability can be witnessed by a locally closed separator computable in polynomial time; (b) checking whether a formula is a locally closed separator is in NC (so, simpler than unreachablity, which is P-complete). We further consider the more general problem of (existential) set-to-set reachability, where two sets of markings are given as convex polytopes. We show that, while our approach does not extend directly, we can still efficiently certify unreachability via an altered Petri.


翻译:Leroux 已经证明, Presburger 网中的不可调离值可以通过 Presburger 分隔器来见证 $\ varphie 。 也就是说, 如果一个标记 $\ vec{ m ⁇ text{ tgt} $ 不能达到 $\ vec{ text{ tgt} $, 那么就有一个公式 $\ varphie$, 例如 $\ varphie 网中的不可调离值; $\ varphie 网中的不可调离值, 也就是说, 美元和 $\ vvarphi( vec{m{m} 美元) 和 $\ vvec{ vrc{ src} $ 。 如果一个标记 $ $\ varc{m{ text{ text{ $ $, 那么, 那么, $ $nvarfrearelabreal 的调和 ral deal deal deal lax, rodemodeal a we- clobal rodeal detradeal laftal laft laft ladestrate laft laft laft 。

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