We revisit the deadline version of the discrete time-cost tradeoff problem for the special case of bounded depth. Such instances occur for example in VLSI design. The depth of an instance is the number of jobs in a longest chain and is denoted by $d$. We prove new upper and lower bounds on the approximability. First we observe that the problem can be regarded as a special case of finding a minimum-weight vertex cover in a $d$-partite hypergraph. Next, we study the natural LP relaxation, which can be solved in polynomial time for fixed $d$ and -- for time-cost tradeoff instances -- up to an arbitrarily small error in general. Improving on prior work of Lov\'asz and of Aharoni, Holzman and Krivelevich, we describe a deterministic algorithm with approximation ratio slightly less than $\frac{d}{2}$ for minimum-weight vertex cover in $d$-partite hypergraphs for fixed $d$ and given $d$-partition. This is tight and yields also a $\frac{d}{2}$-approximation algorithm for general time-cost tradeoff instances. We also study the inapproximability and show that no better approximation ratio than $\frac{d+2}{4}$ is possible, assuming the Unique Games Conjecture and $\text{P}\neq\text{NP}$. This strengthens a result of Svensson, who showed that under the same assumptions no constant-factor approximation algorithm exists for general time-cost tradeoff instances (of unbounded depth). Previously, only APX-hardness was known for bounded depth.


翻译:我们重新审视了离散时间成本权衡问题的最后期限版本, 举例来说, 此类情形发生于VLSI 设计中。 实例的深度是最长链条中的工作数量, 以美元表示。 我们证明在适应性方面有新的上下界限。 首先, 我们观察到, 这个问题可以被视为一个特殊案例, 在美元- partite 高压中找到一个最小重量的顶点覆盖 。 其次, 我们研究自然的LP 放松, 它可以在固定美元和 -- -- 时间成本交易中, 任意的小错误中解决。 改进了Lov\'asz以及Aharoni、 Holzman 和 Krivelevich的先前工作, 我们描述的精确率略低于 $\ frac{ d ⁇ 2} 的近重值。 在美元- 美元- 部分交易中, 固定美元- 超值超值超值超值超值超值交易, 且以美元- 超值部分方式解决 。 这在货币- 交易中, 也得出了一个更紧、 美元- 美元- 更精确的精确的亚值交易结果。

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