An implicit Euler finite-volume scheme for general cross-diffusion systems with volume-filling constraints is proposed and analyzed. The diffusion matrix may be nonsymmetric and not positive semidefinite, but the diffusion system is assumed to possess a formal gradient-flow structure that yields $L^\infty$ bounds on the continuous level. Examples include the Maxwell-Stefan systems for gas mixtures, tumor-growth models, and systems for the fabrication of thin-film solar cells. The proposed numerical scheme preserves the structure of the continuous equations, namely the entropy dissipation inequality as well as the nonnegativity of the concentrations and the volume-filling constraints. The discrete entropy structure is a consequence of a new vector-valued discrete chain rule. The existence of discrete solutions, their positivity, and the convergence of the scheme is proved. The numerical scheme is implemented for a one-dimensional Maxwell-Stefan model and a two-dimensional thin-film solar cell system. It is illustrated that the convergence rate in space is of order two and the discrete relative entropy decays exponentially.


翻译:提议并分析具有排量限制的普通交叉扩散系统隐含的Euler-Stefan方案。扩散矩阵可能是非对称的,不是正的半成型,但扩散系统假定拥有一种正式的梯度-流结构,在连续水平上产生产值L ⁇ infty美元界限。例子包括气体混合物的Maxwell-Stefan系统、肿瘤生长模型和薄膜太阳能电池制造系统。拟议的数字公式保存连续方程式的结构,即酶消散不平等以及浓度和体积限制的非饱和性。离散的环流结构是新的矢量估值离散链规则的结果。离散的溶液的存在、其假定性以及方案的趋同。数字公式用于一维的Maxwell-Stefan模型和二维的薄膜太阳能电池系统。它说明空间的趋同率是2级的,离散相对的酶衰变指数。

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