The Exact Satisfiability problem asks if we can find a satisfying assignment to each clause such that exactly one literal in each clause is assigned $1$, while the rest are all assigned $0$. We can generalise this problem further by defining that a $C^j$ clause is solved iff exactly $j$ of the literals in the clause are $1$ and all others are $0$. We now introduce the family of Generalised Exact Satisfiability problems called G$i$XSAT as the problem to check whether a given instance consisting of $C^j$ clauses with $j \in \{0,1,\ldots,i\}$ for each clause has a satisfying assignment. In this paper, we present faster exact polynomial space algorithms, using a nonstandard measure, to solve G$i$XSAT, for $i\in \{2,3,4\}$, in $O(1.3674^n)$ time, $O(1.5687^n)$ time and $O(1.6545^n)$ time, respectively, using polynomial space, where $n$ is the number of variables. This improves the current state of the art for polynomial space algorithms from $O(1.4203^n)$ time for G$2$XSAT by Zhou, Jiang and Yin and from $O(1.6202^n)$ time for G$3$XSAT by Dahll\"of and from $O(1.6844^n)$ time for G$4$XSAT which was by Dahll\"of as well. In addition, we present faster exact algorithms solving G$2$XSAT, G$3$XSAT and G$4$XSAT in $O(1.3188^n)$ time, $O(1.3407^n)$ time and $O(1.3536^n)$ time respectively at the expense of using exponential space.
翻译:满足性要求我们能否找到对每个条款的满意分配, 使每个条款中一字一字一字的一美元被分配到1美元, 而其余的则全部分配到0美元。 我们可以进一步概括这一问题, 确定如果条款中字面的美元一字一字的美元就是1美元, 而所有其他的都是0美元。 我们现在引入了通用的满足性问题组, 称为G1XSAT, 问题在于检查每个条款中一字一字一字的一字一字一字一美元被分配到$1美元, 而其余的每字一字一字一字的一字一字一美元被分配到1美元, 而其余的一字一字一字一字的一字一字一字一字一字。 我们可以更概括这个问题。 在本文中, 我们使用非标准计量的精确的多币空间算, 美元 2, 3, 4美元, 4美元, 现在的1美元一字一字一字一元的( G3美元) 。 (1.587美元) 美元) 时间, 美元是OQQQQQ美元 美元 美元 美元, 时间, 时间, 时间比目前 4美元 4美元, 4美元 4美元, 4美元, 4美元, 时间, 4美元, 美元, 美元, 时间, 美元, 美元, 美元, 时间, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 时间, 时间, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 时间, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 时间, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 时间, 美元, 美元, 美元, 美元, 时间, 美元, 时间, 时间, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元