We study the classic facility location setting, where we are given $n$ clients and $m$ possible facility locations in some arbitrary metric space, and want to choose a location to build a facility. The exact same setting also arises in spatial social choice, where voters are the clients and the goal is to choose a candidate or outcome, with the distance from a voter to an outcome representing the cost of this outcome for the voter (e.g., based on their ideological differences). Unlike most previous work, we do not focus on a single objective to optimize (e.g., the total distance from clients to the facility, or the maximum distance, etc.), but instead attempt to optimize several different objectives simultaneously. More specifically, we consider the $l$-centrum family of objectives, which includes the total distance, max distance, and many others. We present tight bounds on how well any pair of such objectives (e.g., max and sum) can be simultaneously approximated compared to their optimum outcomes. In particular, we show that for any such pair of objectives, it is always possible to choose an outcome which simultaneously approximates both objectives within a factor of $1+\sqrt{2}$, and give a precise characterization of how this factor improves as the two objectives being optimized become more similar. For $q>2$ different centrum objectives, we show that it is always possible to approximate all $q$ of these objectives within a small constant, and that this constant approaches 3 as $q\rightarrow \infty$. Our results show that when optimizing only a few simultaneous objectives, it is always possible to form an outcome which is a significantly better than 3 approximation for all of these objectives.


翻译:我们研究的是典型的设施位置设置,在这种设置中,我们得到的是美元客户,而可能得到的是美元设施,在某种任意的计量空间里,我们想要选择一个设施建造地点。同样的情况也出现在空间社会选择中,选民是客户,目标是选择候选人或结果,从选民到选举结果的成本的距离,从选民到选举结果的成本的距离(例如,基于他们的意识形态差异)。与大多数以前的工作不同,我们并不专注于一个优化的单一目标(例如,客户与设施之间的总距离或最大距离等),而是试图同时优化几个不同的目标。更具体地说,我们考虑的是目标中的美元-中枢系列,包括总距离、最大距离和许多其他目标。我们提出了与选举结果的成本(例如,基于他们的意识形态差异)相比,任何一对目标(例如,峰值)可以与最佳结果同时相近。特别是,对于任何这样的一对目标,我们总是有可能选择一个同时同时将两个目标相近于美元的一个目标。我们考虑的是,这个目标的准确性系数是1美元2美元,最接近的目标是更精确的系数。我们如何将这种精确地反映一个不同的目标的系数是,这个精确的系数的系数是,这个精确的系数的系数是多少是,这个目标的系数的系数是比一个不同的系数。

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