We continue the study of $(\mathrm{tw},\omega)$-bounded graph classes, that is, hereditary graph classes in which the treewidth can only be large due to the presence of a large clique, with the goal of understanding the extent to which this property has useful algorithmic implications for the Independent Set and related problems. In the previous paper of the series [Dallard, Milani\v{c}, and \v{S}torgel, Treewidth versus clique number. II. Tree-independence number], we introduced the tree-independence number, a min-max graph invariant related to tree decompositions. Bounded tree-independence number implies both $(\mathrm{tw},\omega)$-boundedness and the existence of a polynomial-time algorithm for the Maximum Weight Independent Set problem, provided that the input graph is given together with a tree decomposition with bounded independence number. In this paper, we consider six graph containment relations and for each of them characterize the graphs $H$ for which any graph excluding $H$ with respect to the relation admits a tree decomposition with bounded independence number. The induced minor relation is of particular interest: we show that excluding either a $K_5$ minus an edge or the $4$-wheel implies the existence of a tree decomposition in which every bag is a clique plus at most $3$ vertices, while excluding a complete bipartite graph $K_{2,q}$ implies the existence of a tree decomposition with independence number at most $2(q-1)$. Our constructive proofs are obtained using a variety of tools, including $\ell$-refined tree decompositions, SPQR trees, and potential maximal cliques. They imply polynomial-time algorithms for the Independent Set and related problems in an infinite family of graph classes; in particular, the results apply to the class of $1$-perfectly orientable graphs, answering a question of Beisegel, Chudnovsky, Gurvich, Milani\v{c}, and Servatius from 2019.
翻译:我们继续研究$( mathrm{ tw},\ omega) 以美元为对象的图表类, 即世系的图表类, 即: 世系的图表类, 由于存在一个大型 cluic, 树状的图类可能非常大, 目的是了解该属性在多大程度上对独立 Set 及相关问题具有有用的算法影响。 在系列的上一页[Dallard, Milai\v{c}, 和\v{Storg, 树状的图类, 树状的图类, 树状的独立数, 我们引入了树状的独立数, 一个与树状的变异性有关的微量图 。 树状的树状数和树色的直系关系, 直系的直系、 直系、 直系的直系、 直系的直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、 直系、直系、 直系、 直系、 直系