In many fundamental combinatorial optimization problems, a feasible solution induces some real cost vectors as an intermediate result, and the optimization objective is a certain function of the vectors. For example, in the problem of makespan minimization on unrelated parallel machines, a feasible job assignment induces a vector containing the sizes of assigned jobs for each machine, and the goal is to minimize the $L_\infty$ norm of $L_1$ norms of the vectors. Another example is fault-tolerant $k$-center, where each client is connected to multiple open facilities, thus having a vector of distances to these facilities, and the goal is to minimize the $L_\infty$ norm of $L_\infty$ norms of these vectors. In this paper, we study the maximum of norm problem. Given an arbitrary symmetric monotone norm $f$, the objective is defined as the maximum ($L_\infty$ norm) of $f$-norm values of the induced cost vectors. This versatile formulation captures a wide variety of problems, including makespan minimization, fault-tolerant $k$-center and many others. We give concrete results for load balancing on unrelated parallel machines and clustering problems, including constant-factor approximation algorithms when $f$ belongs with a certain rich family of norms, and $O(\log n)$-approximations when $f$ is general and satisfies some mild assumptions. We also consider the aforementioned problems in a generalized fairness setting. As a concrete example, the insight is to prevent a scheduling algorithm from assigning too many jobs consistently on any machine in a job-recurring scenario, and causing the machine's controller to fail. Our algorithm needs to stochastically output a feasible solution minimizing the objective function, and satisfy the given marginal fairness constraints.


翻译:在许多基本的组合优化问题中, 一种可行的解决方案将某些真正的成本矢量作为中间结果, 而优化的目标是矢量的某种功能。 例如, 在不相关的平行机器上最小化的问题中, 可行的工作分配会引出一个包含每台机器分配工作规模的矢量, 目标是将矢量标准值的$L$infty 标准最小化为$1美元。 另一个例子是, 最小度标准值为$1美元。 最小度标准值为$1美元。 另一个例子是最小度标准值为$-norm 标准。 每个客户都与多个开放设施连接, 从而拥有通往这些设施的距离, 目标是最大限度地减少这些矢量标准值的美元值标准。 最小度标准值为$-infty 标准, 最小度标准值为$- centrentral 标准, 目标为最小值最高值( $) 标准值为$-noral 标准值值值值值值值值。 任何通用配方的配方化配置都包含最小最小最小度的最小度、 美元- 基值标准值标准值标准值标准值, 也意味着固定值的内, 标准值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值值的计算。

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